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§3不等式

3．1不等式的性质

新知初探·自主学习

【最新课标】梳理不等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．

教材要点

要点一两个实数大小比较

1．文字叙述

如果a－b是________，那么ab；

如果a－b________，那么a＝b；

如果a－b是________，那么ab，反之也成立．

2．符号表示

a－b0?a________b；

a－b＝0?a________b；

a－b0?a________b．

状元随笔比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．

要点二不等式的性质

性质

别名

性质内容

1

传递性

ab，bc?________

2

可加性

ab?________

3

可乘性

abc0?

a

4

同向可加性

ab

5

可乘性

ab0cd0.

ab0cd0_?

6

可开方性

ab0，nanb，(n∈N＋，n

状元随笔

(1)性质2是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a＋bc?ac－b.性质2是可逆性的，即ab?a＋cb＋c.

(2)注意不等式的单向性和双向性．性质2是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．

(3)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．

教材答疑

[教材3.1思考交流]

实例1：糖水中加糖，糖水更甜了．

实例2：盐水中加盐，盐水更咸了．

基础自测

1.判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若ab1，则ab.(

(2)a与b的差是非负实数，可表示为a－b0.()

(3)a，b，c为实数，在等式中，若a＝b，则ac＝bc；在不等式中，若ab，则acbc.()

(4)a，b，c为实数，若ac2bc2，则ab.()

2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是()

A．MNB．M＝N

C．MND．与x有关

3．已知xa0，则一定成立的不等式是()

A．x2a20B．x2axa2

C．x2ax0D．x2a2ax

4．[多选题]若ab0，dc0，则下列不等式成立的是()

A．acbcB．a－db－c

C．1d1cD．a3

课堂探究素养提升

题型1比较大小——自主完成

1.已知a∈R，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为()

A．pqB．p≥qC．pqD．p≤q

2．设x，y是不全为零的实数，试比较2x2＋y2与x2＋xy的大小

状元随笔作差后，常见的变形方向有：

①将差变形为一个常数，或一个常数与几个平方和的形式；②将差变为几个式子的积或商，而各个式子的符号是可以确定的；③当差是某个字母的二次三项式时，常用判别式或配方法判断符号．

题型2不等式的性质及应用——师生共研

例1(1)已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是()

根据不等式的性质，对选项通过举反例一一验证．

A.若ab，则ac2bc2

B．若acbc，则a

C．若a3b3且ab0，则1a

D．若a2b2且ab0，则1a

(2)已知1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．

(3)某单位职工去北京瞻仰伟大领袖毛主席遗容，需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．

,

方法归纳

(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．

(2)解有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．

(3)“最优方案”问题，首先要设出未知量，搞清楚比较的对象，然后把这个未知量用其他的已知量表示出来，通过比较即可得出结论．

跟踪训练1(1)已知实数0a1，则下列正确的是()

A．1aaa2B．aa2

C．a21aaD．1aa2

(2)[多选题]若ab0，则下列不等式成立的是()

A．1a1bB．b

C．a＋1bb＋1aD．a＋1a

(3)某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：

电子器件种类

每件需要人员数

每件产值(万元/件)

A类

1

7.5

B类

1

6

今制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应开发________件，最高产值为_____