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1．2集合的基本关系

新知初探·自主学习

【最新课标】

(1)在具体情景中，了解空集的含义．

(2)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．

教材要点

要点一子集

文字语言

符号语言

图形语言

对于两个集合A，B，如果集合A中________元素都属于集合B，那么称集合A是集合B的子集

若a∈A，则a∈B，记作______________，读作“A包含于B”(或“B包含A”)

状元随笔“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即任意x∈A都能推出x∈B.

要点二集合相等

文字语言：对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，记作________．

符号语言：若A?B，且B?A，则A＝B.

状元随笔1.若A?B，且B?A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A?B，且B?A.

2．若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关．

要点三真子集

文字语言：对于两个集合A与B，如果________________，那么称集合A是集合B的真子集．

符号语言：AB(或BA)．

状元随笔在真子集的定义中，AB首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A.

要点四空集

不含________元素的集合叫作空集，记为?.

规定：空集是任何集合的子集．

状元随笔空集是不含任何元素的集合，且规定???，任何时候x∈?都不成立，x??是永恒的真命题．

{?}不是空集，{?}中含有一个元素?.?作为元素，则?∈{?}；?作为集合，则??{?}．

要点五子集的性质

1．任何一个集合都是它本身的子集，即A?A.

2．对于集合A，B，C，

若A?B，B?C，则A?C.

基础自测

1.判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)?和{?}表示的意义相同．()

(2){0，1}＝{1，0}＝{(0，1)}．()

(3)实数中“≤”类似于集合中“?”，“?”相当于“”．()

(4)如果集合B?A，那么若元素a不属于A，则必不属于B.()

(5)任何集合都有子集和真子集．()

(6)若a∈A，则{a}A.()

2．集合{0，1}的真子集有()

A．1个B．2个

C．3个D．4个

3．[多选题]已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列式子表示正确的是()

A．1∈AB．{－1}∈A

C．??AD．{－1，1}?A

4．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y＝________．

课堂探究·素养提升

题型1子集、真子集的个数问题——自主完成

1．已知集合A＝{x|0≤x3且x∈N}，则A的真子集的个数是()

A．16B．8C．7D．4

2．满足{a，b}M{a，b，c，d，e}的集合M的个数为()

A．6B．7C．8D．9

状元随笔写集合的子集时不要忘记?，真子集在子集的基础上去掉自身．

方法归纳

公式法求有限集合的子集个数

(1)含n个元素的集合有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－1)个非空子集，有(2n－2)个非空真子集．

(2)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A?B?C，则符合条件的集合B有2m－n个．

题型2集合间关系的判断——师生共研

例1指出下列各组集合之间的关系：

利用数轴判断

(1)A＝{x|－1x5}，

B＝{x|0x5}；

(2)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}；

根据表示数集的意义判断

(3)A＝{(x，y)|xy0}，B＝{(x，y)|x0，y0或x0，y0}．

根据集合的几何意义判断

(4)A＝{x|x＝1＋a2，a∈N*}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N*}．

将A中x关于a的关系式改写成B中的形式，再判断．

方法归纳

判断集合间关系的方法

(1)用定义判断

首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A?B，否则A不是B的子集；

其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B?A，否则B不是A的子集；

若既有A?B，又有B?A，则A＝B.

(2)数形结合判断

对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．

跟踪训练1(1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0，1}，则M与T的关系是()

A．MTB．MT

C．M＝TD.M?T

(2)设M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为()

A．P?N?M