人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第4章 数列 4.2.1 第1课时 等差数列的通项公式.ppt

第1课时等差数列的通项公式第四章4.2.1

内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑

自主预习新知导学

一、等差数列的概念1.观察下面几组数列:①0,5,10,15,20,25,…;②9,6,3,0,-3,-6,…;③2,2,2,2,2,2,….(1)每个数列从第2项起,每一项与前一项的差分别是几?提示:从第2项起,每一项与前一项的差分别是5,-3,0.(2)每个数列中,相邻两项的递推关系分别是什么?提示:分别是an+1-an=5,an+1-an=-3,an+1-an=0.(3)这几个数列都有什么共同特点?提示:从第2项起,每一项与前一项的差都是同一个常数.

2.一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.符号语言:an+1-an=d(d为常数,n∈N*).

二、等差中项1.如果三个数a,A,b成等差数列,那么它们之间有怎样的数量关系?提示:因为A-a=b-A,所以a+b=2A.2.(1)由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,2A=a+b.

3.方程x2+6x+1=0的两根的等差中项为()A.1 B.6 C.-6 D.-3解析:设方程的两根为x1,x2,则x1+x2=-6,答案:D

三、等差数列的通项公式1.已知等差数列1,3,5,7,…,你能归纳出它的通项公式吗?怎样表示?提示:能.an=2n-1.2.在等差数列{an}中,首项为a1,公差为d,能不能用a1与d表示an呢?怎样表示?提示:能.an-a1=(n-1)d,移项可得an=a1+(n-1)d.3.首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d.4.已知等差数列{an}的首项a1=4,公差d=-2,则通项公式为an=()A.4-2n B.2n-4C.6-2n D.2n-6解析:an=a1+(n-1)d=4+(n-1)×(-2)=-2n+6.答案:C

四、从函数角度认识等差数列{an}1.观察等差数列的通项公式,你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关?提示:因为对于公差为d的等差数列{an},an=dn+a1-d,所以,若记f(x)=dx+a1-d,则an=f(n).当d=0时,f(x)是常数函数,当d≠0时,f(x)是一次函数.2.若数列{an}是等差数列,首项为a1,公差为d,则an=f(n)=a1+(n-1)d=nd+(a1-d).(1)点(n,an)落在直线y=dx+a1-d上.(2)这些点的横坐标每增加1,其函数值增加d.(3)若d0,则数列{an}是递增数列;若d0,则数列{an}是递减数列;若d=0,则an=a1,数列{an}是常数列.

合作探究释疑解惑

探究一等差数列的判断【例1】(1)若数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列()A.是公差为2的递增等差数列B.是公差为5的递增等差数列C.是首项为7的递减等差数列D.是公差为2的递减等差数列解析:因为an-an-1=2n+5-[2(n-1)+5]=20(n≥2),所以数列{an}是公差为2的递增等差数列.故选A.答案:A

(2)判断下列数列是不是等差数列,并给出证明.①an=4-2n;②an=n2+n.解:①是等差数列.证明如下:当n∈N*时,an+1-an=4-2(n+1)-(4-2n)=4-2n-2-4+2n=-2(常数),故{an}是等差数列,且公差为-2.②不是等差数列.证明如下:因为a1=2,a2=6,a3=12,所以a2-a1≠a3-a2,所以{an}不是等差数列.

反思感悟1.给出了数列的通项公式,要判断是否为等差数列可以用定义法,也可以直接看通项公式是否为an=kn+b(k,b为常数,n∈N*)的形式,若符合此形式,则为等差数列,否则不是.2.定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据,要证明一个数列为等差数列,可利用an+1-an=d(常数)(n∈N*)或它的等价命题.但若要说明一个数列不是等差数列,则只需举出反例.

【变式训练1】(多选题)已知下列数列的通项公式,其中是等差数列的是()A.an=2 B.an=8-3nC.an=log37n D.an=n2-3n解析:由等差数列的定义可知,A项中的数列是公差为0的等差数列;B项中的数列是公差为-3的等差数列;C项中的数列是公差为log37的等差数列;D项中的数列,由通项公式知,a1=-2,a2=-2,a3=0,而a2-a1≠a3-a2,所以该数列不是等差数列.答案:ABC

探究二等差数列的基本运算【例2】(1)已知{an}是公差为d的等差数列,若a