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2023-2024学年福建省漳平市一中高三3月月考调研考试数学试题
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数是上的减函数,当最小时,若函数恰有两个零点,则实数的取值范围是()
A. B.
C. D.
2.已知函数,若关于的方程有且只有一个实数根,则实数的取值范围是()
A. B.
C. D.
3.已知分别为圆与的直径,则的取值范围为()
A. B. C. D.
4.曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为()
A.3 B.2 C. D.1
5.若复数满足(是虚数单位),则的虚部为()
A. B. C. D.
6.复数(为虚数单位),则等于()
A.3 B.
C.2 D.
7.给定下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,则这两个平面相互平行;
②若一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面相互垂直;
③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中,为真命题的是()
A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④
8.已知复数和复数,则为
A. B. C. D.
9.当时,函数的图象大致是()
A. B.
C. D.
10.数列满足:,,,为其前n项和,则()
A.0 B.1 C.3 D.4
11.已知集合,,则()
A. B.
C.或 D.
12.已知数列为等差数列,为其前项和,,则()
A.7 B.14 C.28 D.84
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若函数为偶函数,则________.
14.设,满足约束条件,则的最大值为______.
15.定义在上的奇函数满足,并且当时,则___
16.执行右边的程序框图,输出的的值为.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知,函数,(是自然对数的底数).
(Ⅰ)讨论函数极值点的个数;
(Ⅱ)若,且命题“,”是假命题,求实数的取值范围.
18.(12分)某精密仪器生产车间每天生产个零件,质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格,若较多零件不合格,则需对其余所有零件进行检查.根据多年的生产数据和经验,这些零件的长度服从正态分布(单位:微米),且相互独立.若零件的长度满足,则认为该零件是合格的,否则该零件不合格.
(1)假设某一天小张抽查出不合格的零件数为,求及的数学期望;
(2)小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件,若以此频率作为当天生产零件的不合格率.已知检查一个零件的成本为10元,而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元.假设充分大,为了使损失尽量小,小张是否需要检查其余所有零件,试说明理由.
附:若随机变量服从正态分布,则.
19.(12分)已知集合,.
(1)若,则;
(2)若,求实数的取值范围.
20.(12分)在直角坐标系中,直线l过点,且倾斜角为,以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程,并判断曲线C是什么曲线;
设直线l与曲线C相交与M,N两点,当,求的值.
21.(12分)如图所示,在三棱柱中,为等边三角形,,,平面,是线段上靠近的三等分点.
(1)求证:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
22.(10分)如图,三棱柱中,侧面为菱形,.
(1)求证:平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
首先根据为上的减函数,列出不等式组,求得,所以当最小时,,之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题,画出图形,数形结合得到结果.
【详解】
由于为上的减函数,则有,可得,
所以当最小时,,
函数恰有两个零点等价于方程有两个实根,
等价于函数与的图像有两个交点.
画出函数的简图如下,而函数恒过定点,
数形结合可得的取值范围为.
故选:A.
【点睛】
该题考查的是有关函数的问题,涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围,根据函数零点个数求参数的取值范围,数形结合思想的应用,属于中档题目.
2、B
【解析】
利用换元法设
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