微积分全套课件.pptx

第一章函数;§1.1集合;三、邻域设a?R，?0;E有界：E既有上界，又有下界.;§1.2函数;例2设X＝{所有三角形}，Y＝R,定义T为：对X中的每个

三角形，用其面积与之对应，即;二、函数;3)符号函数;定义6设;三、函数简单性质;2函数的（严格）单调性;3函数的周期性设?T?0使得Df满足?x?Df,x?T?Df,且

f(x+T)=f(x),则称f为周期函数，T称为f的一个周期.;例5证明;初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算和复合

并能用一个解析式表达的函数。;五、三类函数;如摆线方程;第二章极限与连续;§2.1数列极限;;2、截杖问题：;;定义2数列{xn}中依次取出下标为n1n2…nk…的项组成

的新数列;例1讨论下列数列的单调性和有界性;;定义3设有数列{xn}.若存在常数A，使得??0,?N?N+,

当nN时，|xn?A|?，则称{xn}的极限为A，或称数列收敛

于A，记为;注：给定?来找N似乎是解不等式，由于N虽然

依赖于?，但不唯一，因此只需要找一个N使得nN成为

的充分条件即可.这就是所谓的“适当放大法”.;四、无穷小与无穷大;④无穷小，无穷大和无界的关系;§2.1数列极限性质和运算法则;一、数列极限的性质;根据保号性和其注，则有

推论2若;二.数列极限的运算法则;2.一个公式：;例1求极限;;三、数列极限存在准则;证:因为;例4.设;2.单调有界数列极限存在;即n1时,an下降,依单调有界数列极限存在定理和极限保号性推论知:;所以{xn}严格单调增加.又;实际上,我们还有;§2.4函数极限;一、函数极限的定义;命题;2.自变量趋向一点时函数的极限;例3.用“???”定义验证;⑤类似地，可以证明;3.单侧极限;④上述命题常用于判断分段函数在分段点处的极限.;4.Heine定理;类似地，可得Dirichlet函数D(x)在x＝0处极限也不存在.;5、无穷小和无穷大;定理limf(x)=A?f(x)=A+?(x),其中?(x)为无穷小.;①极限过程也可以换成x?a?,x???或x??;还可以类似地定义正无穷大，负无穷大；;解;1)唯一性;同数列情形一样,即便f(x)0,也不能得出A0.;6)有理函数极限公式:;3.函数极限收敛准则;三、两个重要极限;例4求极限;例6求极限;例7求极限;四.无穷小的比较;定义3设;③常数k0,而不要求k是正整数，因此k阶无穷小不一定就是更高阶的无穷小.;等价无穷小替换定理;例9证明:当x?0时,(1+x)?–1??x.;;⑥举指数法:;§2.5函数的连续;一、函数连续的定义;“增量”表述：f(x)在x0连续?;例1试证sinx,cosx在R上连续.;单侧连续;连续函数类;二、间断点的分类;①补充或改变f(x)在x0的定义为后,x0

就可以成为连续点，因此间断性是可去的(图示意).;例7确定函数;间断点;三、连续函数运算;3逆运算;例1证明;§2.6闭区间上连续函数性质;一、有界性定理;三、零值定理;例2证明方程xlnx=1在(0,+?)上有且仅有一根.;例4设f(x)在x=0连续,且对?x,y?(??,??),有f(x+y)=f(x)+f(y).证明:f(x)?C(??,??).;第三章导数与微分;§3.1导数的概念;2.切线问题;3.变化率;二、导数的定义;2.几何、物理意义;3.例子;4.单侧导数;例4证明f(x)=|x|在x=0处不可导(曲线不“光滑”,有尖点).;5、可导函数类;例6求y=sinx,cosx的导数.;三、可导与连续;例9设函数在x=0处可导，求常数a,b.;§3.2函数求导法则;一、四则运算;例1求y=tanx,cotx,secx的导数.;二、反函数的导数;三、复合函数的导数;②上述法则可推广到有限个函数的复合情形.运用链导法的关键是正确分解函数的复合步骤.;例8求y=的导数.;④对数求导法：适用于幂指数函数和因式较多的函数求导.;四、三类函数的导数;2.参数方程确定的函数的导数：设方程x=x(t),y=y(t)确定了函数y=y(x),则对