人教A版高中数学必修第一册精品课件 第3章 函数的概念与性质 3.2.1 第2课时 函数的最大(小)值.ppt

3.2.1单调性与最大(小)值第2课时函数的最大(小)值

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函数的最大值、最小值1.观察下面两个函数的图象,回答下列问题:(1)比较两个函数的图象,它们是否都有最高点?(2)通过观察图①你能发现什么?

提示:(1)题图①中函数y=-x2的图象上有一个最高点;题图②中函数y=-x的图象上没有最高点.(2)对任意x∈R,都有f(x)≤f(0).

提示:(1)题图①中函数y=x2的图象有一个最低点.题图②中函数y=x的图象没有最低点.(2)对任意x∈R,都有f(x)≥f(0).2.观察下面两个函数的图象,回答下列问题.?(1)比较两个函数的图象,它们是否都有最低点?(2)通过观察图①你能发现什么?

3.

4.已知函数f(x)在区间[-2,2]上的图象如图所示,则该函数的最小值、最大值分别是()?A.f(-2),0 B.0,2C.f(-2),2 D.f(2),2解析:由题图可知,该函数的最小值为f(-2),最大值为f(1)=2.答案:C

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)任何函数都有最大(小)值.(×)(2)函数f(x)在区间[a,b]上的最值一定是f(a)或f(b).(×)(3)若对任意x∈D,都有f(x)≤M,则M是函数f(x)的最大值.(×)(4)如果一个函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,那么函数在区间[a,b]上的最大值是f(a).(√)

合作探究·释疑解惑

探究一利用函数的图象求函数的最值【例1】作出函数y=|x-2|(x+1)的图象,说明函数的单调性,并判断其是否存在最大值和最小值.分析:去绝对值→分段函数→作图→识图→结论

反思感悟图象法求最值的步骤

(1)如图所示,在给定的平面直角坐标系内作出f(x)的图象;?(2)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值.

解:(1)由题意知,当x∈[-1,2]时,f(x)=-x2+3,其图象为二次函数图象的一部分;当x∈(2,5]时,f(x)=x-3,其图象为一次函数图象的一部分.故函数f(x)的图象如图所示:?(2)由图象可知,当x=0时,f(x)有最大值3;当x=2时,f(x)有最小值-1.

探究二利用函数的单调性求函数的最值【例2】已知函数(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.分析:(1)证明单调性的流程:取值→作差→变形→判断符号→结论;(2)借助函数的最值与单调性的关系,写出函数的最值.

解:(1)设x1,x2是区间[1,2]上的任意两个实数,且x1x2,∵x1x2,∴x1-x20.∵1≤x1x2≤2,∴x1x20,1x1x24,即x1x2-40.∴f(x1)f(x2),即f(x)在区间[1,2]上单调递减.(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),;f(x)的最大值为f(1),f(1)=1+4=5,故f(x)在区间[1,2]上的最小值为4,最大值为5.

本例已知条件不变,判断f(x)在区间[1,3]上的单调性,并求f(x)在区间[1,3]上的最值.解:任取x1,x2∈[1,3],且x1x2,由本例当1≤x1x2≤2时,f(x1)f(x2),f(x)在区间[1,2]上单调递减;当2x1x2≤3时,x1x20,4x1x29,即x1x2-40,故f(x1)f(x2),即f(x)在区间(2,3]上单调递增.

反思感悟1.利用函数的单调性求函数最值的一般步骤:(1)判断函数的单调性;(2)利用函数的单调性写出函数的最值.

2.函数的最值与单调性的关系:(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),在区间(b,c]上单调递减(增),则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.(3)若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则函数f(x)在区间[a,b]上一定有最值.(4)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值.

探究三与函数的最值有关的应用问题(1)设该商品的日销售额为y元,请写出y关于t的函数解析式.(2)求该商品的日销售额的最大值,并指出哪一天的销售额最大.

解:(1)当t25,t∈N*时,y=(t+20)(-t+40)=-t2+20t+800;当25≤t≤30,t∈N*时,y=45(-t+