人教A版高中数学必修第二册精品课件 第6章 平面向量及其应用 6.4.3 第1课时 余弦定理.ppt

6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理

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一、余弦定理1.已知一个三角形的两条边及其夹角,这个三角形的大小、形状能完全确定吗?提示:根据三角形全等的判断方法可知,这个三角形的大小、形状是完全确定的.

3.(1)文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.(2)符号语言:a2=b2+c2-2bccosA,?b2=a2+c2-2accosB,?c2=a2+b2-2abcosC.?

4.在△ABC中,AB=1,BC=2,B=60°,则AC=.

二、余弦定理的推论1.在△ABC中,三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知三条边,如何求出其三个内角?

3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a=6,b=8,c=5,则角B为()A.锐角 B.直角C.钝角 D.不确定答案:C

三、解三角形(1)一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

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探究一已知两边及一角解三角形【例1】在△ABC中,三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,c=,A=30°,求a.分析:已知两边及其夹角,利用余弦定理求a.

1.本例中将条件“A=30°”改为“B=30°”,其他条件不变,求a.2.本例中将条件“A=30°”改为“C=60°”,其他条件不变,求a.

已知三角形的两边及一角解三角形的方法:已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出两边的夹角,还是其中一边的对角.若是给出两边的夹角,则可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,则可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三条边.

答案:(1)A(2)5

探究二已知三边解三角形

已知三边解三角形的步骤:(1)用余弦定理的推论求出两个角;(2)用三角形内角和定理求出第三个角.

【变式训练2】已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为()解析:∵p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),且p∥q,∴(a+c)(c-a)=b(b-a),即c2-a2=b2-ab,答案:B

探究三判断三角形的形状【例3】在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cosBsinA=sinC,试判断此三角形的形状.

1.要判断三角形的形状,必须深入研究边与边的大小关系:是否两边相等,是否三边相等,是否符合勾股定理的逆定理;还要研究角与角的大小关系:是否两个角相等,是否三个角相等,有无直角或钝角.2.解此类题的思想方法:从条件出发,利用余弦定理、两角和与差的正弦公式等进行代换、转化、化简、运算,发现边与边的关系或角与角的关系,从而作出正确判断.

3.判断三角形形状时,还经常用到以下结论:在△ABC中,设abc,若a2=b2+c2,则△ABC为直角三角形;若a2b2+c2,则△ABC为钝角三角形;若a2b2+c2,则△ABC为锐角三角形.

【变式训练3】在△ABC中,若(a-ccosB)·b=(b-ccosA)a,试判断△ABC的形状.

易错辨析

忽视构成三角形的条件致错【典例】在钝角三角形ABC中,a=1,b=2,c=t,且C是最大角,求t的取值范围.错解:∵△ABC是钝角三角形,且C是最大角,∴C90°,∴cosC0,

以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:错解忽略了构成三角形的条件:两边之和大于第三边,即a+bc这个隐含条件,导致t的取值范围变大.

正解:∵a,b,c是△ABC的三边,∴b-aca+b,∴2-1t1+2,∴1t3.又△ABC是钝角三角形,且C是最大角,∴90°C180°.∴cosC0,

在三角形中,当解决边和角的范围问题时,首先要考虑到三角形中的隐含条件,即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.

【变式训练】设2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围.