人教A版高中数学必修第二册精品课件 第6章 平面向量及其应用 6.3.1 平面向量基本定理.ppt

6.3平面向量基本定理及坐标表示

6.3.1平面向量基本定理;自主预习·新知导学;自主预习·新知导学;平面向量基本定理

1.如图,在物理中,已知两个力可以求出它们的合力;反过来,一个力也可以分解为两个不同方向的力.那么对于平面内的任意向量a和两个非零向量e1,e2,能否将向量a按e1,e2的方向分解?如果能,分解方法唯一吗?;提示:当非零向量e1,e2共线时,向量a不一定能按e1,e2的方向分解,当非零向量e1,e2不共线时,任意向量a一定可以按e1,e2的方向分解,且分解方法是唯一的.;2.平面向量基本定理;3.(1)已知向量e1,e2不共线,则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是()

A.e1-e2与e2-e1;(2)下列说法正确的是()

A.平面内的任一向量a,都可以用平面内的两个非零向量e1,e2线性表示

B.当a与两个不共线的非零向量e1,e2之一平行时,a不能用e1,e2线性表示

C.零向量可以作为基底中的向量

D.平面内的基底是不唯一???;解析:(1)根据基底的定义,只要两向量不共线便可作为基底,易知选D.

(2)根据平面向量基本定理可知,只要是不共线的两个向量就可以作为基底,因此基底是不唯一的.故选D.

答案:(1)D(2)D;合作探究·释疑解惑;探究一基底的概念;解析:(1)B中,∵6e1-8e2=2(3e1-4e2),

∴(6e1-8e2)∥(3e1-4e2),

故3e1-4e2和6e1-8e2不能作为基底.

A,C,D中两向量均不共线,可以作为基底.;对基底的理解:

(1)两个向量能否作为一个基底,关键是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作基底,反之,则可作基底.

(2)一个平面的基底一旦确定,平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.设向量a与b是平面内两个不共线的向量,若x1a+y1b=x2a+y2b,则

提醒:一个平面的基底不是唯一的;同一个向量用不同的基底表示,表达式不一样.;【变式训练1】(1)(多选题)设O是?ABCD的对角线交点,下列四组向量,可作为这个平行四边形所在平面的所有向量的基底的是();答案:(1)AC(2)3;探究二用基底表示向量;用基底表示向量的方法

将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.;探究三平面向???基本定理与数量积的综合应用;答案:C;用向量解决平面几何问题的一般步骤

(1)选取不共线的两个平面向量作为基底(对于平行四边形,常选从同一点出发的两条边对应的向量作为基底).

(2)将相关的向量用基底中的向量表示,将几何问题转化为向量问题.

(3)利用向量知识进行向量运算,得向量问题的解.

(4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解.

提醒:基底的选取非常重要,恰当地选取基底可以使数量积运算变得简便.;【变式训练2】已知单位圆O中的三条半径OA,OB,OC,它们相互之间的夹角为120°,求证:AB⊥OC.;易错辨析;忽略两个向量作为基底的条件致错

【典例】已知e1≠0,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,则a与b共线的条件为()

A.λ=0 B.e2=0

C.e1∥e2 D.e1∥e2或λ=0

错解:A

以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?;提示:错解在应用平面向量基本定理a=λ1e1+λ2e2中,忽视了e1,e2不共线这个条件.本题没有指明e1,e2是否共线,应对e1,e2是否共线分类讨论.

正解:当e1∥e2时,a∥e1,因为b=2e1,所以b∥e1.又e1≠0,故a与b共线;当λ=0时,则a∥e1.因为b=2e1,所以b∥e1.又因为e1≠0,所以a与b共线.

答案:D;1.在应用平面向量基本定理时,要注意a=λ1e1+λ2e2中,e1,e2不共线这个条件.

2.平面内任一向量都可以沿着两个不共???向量e1,e2的方向线性分解,并且这种分解是唯一的.

3.积累直观想象和数学运算素养的经验.;【变式训练】已知向量a在基底e1,e2下可以表示为a=2e1+3e2,若a在基底e1+e2,e1-e2下可表示为a=λ(e1+e2)+μ(e1-e2),则λ=,μ=.?