线性代数课件.pptx

第一章行列式;第一节排列及其逆序数;一、引言;;用高斯消元法，对三元一次线性方程组;;（8）的结果呢？这就是本章要回答的问题。为解决

这一问题，我们要引入n阶行列式的概念。作为定义n

阶行列式的预备知识，下面我们将简单介绍排列的逆

序数的概念。;同的全排列中，我们规定某一个排列的次序为标准顺序。对自然数，我们规定从小到大的排列顺序为标准顺序。;因为2比3小），因此这两个元素产生了一个逆序,而其它任意两个元素的排列次序都与其在标准顺序中的次序一样，因此排列1324的逆序数为1。;例1求排列4321576的逆序数。;例2求自然数1,2，…，n组成的排列n(n–1)

(n–2)···21的逆序数。;定义3在一个排列中，将某两个元素对调位置而其余元素保持不变的操作称为对换。;;次对换相邻元素;占一半，均为n!/2个。;第二节n阶行列式的定义;为给出n阶行列式的定义，让我们来分析前面所

讲的三阶行列式的定义。在§1中的（6）我们定义;不同行不同列的三个元素的乘积；;因此，我们可以把三阶行列式的定义写成;作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以

符号,得到形如;称为n阶行列式（determinant），记为;式与我们前面所说的定义是一致的。;次对角行列式（其中对角线上的元素为;根据行列式的定义;证：由于当ji时，;例3设;记;这里，;第三节行列式的性质;定理1n阶行列式的值也可以定义为;行标排列和列标排列的逆序数之和，则;经过一次对换结果如此，经过多次对换结果当然还是如此。于是，经过若干次对换，使得：列标排列;以一一对应并且相等，从而。;即,按定义;因此由性质1知道上三角行列式（即主对角线以下的

元素全部为0）的值也等于其主对角线的元素的乘积。

）;。于是;以表示行列式的第i行（row），以表示行列式的;第i行（或列）乘以?，记作（或）。;则D等于下列两个行列式的和：;性质6把行列式的某一列（行）的各元素同乘;（以k乘第j行加到第i行，记作。）;;例2计算;;们往往把一个比较简单的数（比如1）换到某一个位

置。??如例1中的第一步，我们把第一行和第四行互

换，目的就是要把数字1换到第一行第一列的位置，

然后在把第一列的剩下的几个元素化为0。这一步完成

后，我们再看第二列的－3，－1，－5啊，道理和刚才

讲的一样，把－1换到第二行第二列的位置，然后将它

化为1，再把1下面的两个元素化为0。后面的做法完全

与此类似。;解：;第四节行列式按行(列)展开;一般说来，低阶行列式的计算要比高阶行列式的

计算要简便，于是我们自然地考虑到用低阶的行列式

来表示高阶的行列式的问题。为此，先引入余子式和

代数余子式的概念。;中元素的余子式和代数余子式分别为;则;再证一般情况，设;的次数为j-1。总之，经过i+j-2次调换，把调到了左上角，所得的行列式;证：;;为n!项的代数和，每一项是n个不同行不同列的元素

的乘积。;;故行列式为零，即得;称为克朗尼克（Kronecker）符号。;第五节综合与提高;对于一个阶数比较高的行列式，利用定义求值

或利用行列式按行(列)展开法则求值都不是一种可

行的方法。诚如前面所指出的，计算一个n阶行列

式就要作n!次乘法.当n增大时，n!的增长是非常快

的，例如,18!?6.4?1015。假定计算机作一次乘法运

算的时间是百万分之一秒，则通过反复使用行列式

按行(列)展开法则并用这种计算机求一个18阶行列

式的值需要的时间(以每天工作八小时计算)竟多达

200年！这就说明为一般地解决行列式的求值问

题，必须利用行列式性质发展有效的计算方法，对

各个具体问题还要善于发现和利用其特点以简化手

续。本节例析几种常用的行列式值的求法，最后介

绍行列式的简单应用。;一行列式值的求法;解;;例2计算行列式

解这个行列式的特点是各列n个元素之和都为

x+(n?1)a。今把后n?1行同时加到第1行，提出公因子

x+(n?1)a，然后各行减去第1行的a倍：;;2．利用行列式性质降阶计算.;解我们保留a33，将第3行的其余元素变为0，然后按第3行展开：;

3.建立递推关系进行计算.

在行列式计算中，建立递推关系再行求解，也是

一种有用的技巧。当然，发现递推关系需要经验，

也可能要费一番功夫。;