人教A版高中同步学考数学必修4精品课件 第三章 3.1.1 两角差的余弦公式.ppt

第三章三角恒等变换

3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3.1.1两角差的余弦公式

两角差的余弦公式1.15°角是特殊角吗?如果不是特殊角,那么能否用特殊角的和与差来表示15°?如果15°=45°-30°,那么cos15°=cos(45°-30°)=cos45°-cos30°吗?提示:15°角不是特殊角,但可以用特殊角的差来表示15°,例如15°=45°-30°,但cos(45°-30°)≠cos45°-cos30°.

2.观察下表中的数据,你有什么发现?提示:cos(60°-30°)=cos60°cos30°+sin60°sin30°;cos(120°-60°)=cos120°cos60°+sin120°sin60°.

3.填空:(1)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.?(2)此公式简记作C(α-β).(3)使用条件:α,β都是任意角.4.做一做:(1)cos15°=.?(2)cos75°cos15°+sin75°sin15°=.?

自主检测判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)对于任意角α,β,都有cos(α-β)=cosα-cosβ.()(2)对于任意角α,β,都有cos(α-β)≠cosα-cosβ.()(3)存在角α,β,使得cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.()(4)当α,β为锐角时,必有cos(α-β)cosαcosβ.()答案:(1)×(2)×(3)√(4)√

探究一探究二探究三当堂检测探究一利用两角差的余弦公式解决给角求值问题例1求下列各式的值:(1)cos(-375°);(2)cos75°cos15°-sin75°sin195°;(3)cos(α+45°)cosα+sin(α+45°)sinα;分析:对于(1),应利用诱导公式将-375°转化为锐角再变为两特殊角之差然后利用公式计算;对于(2),将sin195°转化为-sin15°,再套用公式计算;对于(3),可将α+45°当作一个整体来处理;对于

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探究一探究二探究三当堂检测反思感悟利用公式C(α-β)求值的方法技巧在利用两角差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时,要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差),利用公式直接化简求值,在转化过程中,充分利用诱导公式,构造出两角差的余弦公式的结构形式,正确地顺用公式或逆用公式来求值.

探究一探究二探究三当堂检测变式训练1求值:(1)sin46°cos14°+sin44°cos76°;(2)cos(θ+70°)cos(θ+10°)+sin(θ+70°)sin(θ+10°).解:(1)sin46°cos14°+sin44°cos76°=sin(90°-44°)cos14°+sin44°cos(90°-14°)=cos44°cos14°+sin44°sin14°

探究一探究二探究三当堂检测探究二利用两角差的余弦公式解决给值求值问题分析:对于(1),可根据同角的三角函数关系式求出cosα,sinβ的值,然后利用两角差的余弦公式展开后代入即得;对于(2)可考虑将β表示为(α+β)-α,然后展开,再结合同角的关系公式进行求解.

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探究一探究二探究三当堂检测反思感悟给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,适当地拆角与凑角.(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有:

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探究一探究二探究三当堂检测探究三利用两角差的余弦公式解决给值求角问题分析:利用两角差的余弦公式,求出cos(α-β)的值,然后根据α-β的范围求出α-β的值.

探究一探究二探究三当堂检测反思感悟解决三角函数给值求角问题的方法步骤(1)确定角的范围,根据条件确定所求角的范围;(2)求所求角的某种三角函数值,为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数;(3)结合三角函数值及角的范围求角.

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探究一探究二探究三当堂检测1.cos50°=()A.cos70°cos20°-sin70°sin20°B.cos70°sin20°-sin70°cos20°C.cos70°cos20°+sin70°sin20°D.cos70°sin20°+sin70°cos20°解析:cos50°=cos(70°-20°)=cos70°