2．2.4 第2课时　基本不等式的应用.DOCXVIP

第2课时基本不等式的应用

课堂探究·素养提升

题型1利用基本不等式证明不等式[经典例题]

例1已知a，b，c＞0，求证：a2b+b2c+c2a≥

方法归纳

(1)在利用a＋b≥2ab时，一定要注意是否满足条件a＞0，b＞0.

(2)在利用基本不等式a＋b≥2ab或a+b2≥ab(a＞0，b＞0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式

(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用．

跟踪训练1已知x＞0，y＞0，z＞0.

求证：(yx+zx)(xy

状元随笔分别对yx＋zx，xy＋zy，xz

题型2灵活利用基本不等式a＋b≥2ab求最值

例2(1)已知a0，b0，a＋2b＝1，1a+1b

A．3B．22

C．3－22D．3＋22

(2)已知x0，y0，x＋2y＝1，则x+1y+1xy的最小值为

方法归纳

常数代换法求最值的方法步骤

常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：

(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；

(2)把确定的定值(常数)变形为1；

(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；

(4)利用均值不等式求最值．

跟踪训练2(1)已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为()

A．8B．4C．2D．0

(2)[2024·合肥一中月考]已知x0，y0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．

题型3利用基本不等式解决实际问题

例3如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为45m2，四周空白的宽度为0.5m，两栏之间的中缝空白的宽度为0.25m，设广告牌的高为xm.

(1)求广告牌的面积关于x的函数S(x)；

(2)求广告牌的面积的最小值．

状元随笔两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．

教材反思

利用基本不等式解决实际问题的步骤

解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案．

跟踪训练3某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．

(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？

(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？

状元随笔1.盈利＝总收入－支出，注意支出，由两部分组成．

2．利用基本不等式求平均利润．

能力提升练

1.(多选)已知正实数a，b，c满足a2－ab＋4b2－c＝0，当cab取最小值时，则下列说法正确的是(

A．a＝2b

B．a＋b＋c的最小值为－3

C．c＝4b2

D．a＋b－c的最大值为3

2．已知关于x的不等式x2－2mx＋m＋2≤0(m∈R)的解集为M.

(1)当M为空集时，求m的取值范围；

(2)在(1)的条件下，求m2

(3)当M不为空集，且M?{x|1≤x≤4}时，求实数m的取值范围．

温馨提示：请完成课时作业(十四)

章末质量检测(二)

第2课时基本不等式的应用

课堂探究·素养提升

例1【证明】∵a，b，c，a2b，

∴a2b＋b≥2a2b

当且仅当a2b＝b

b2c＋c≥2b2c

当且仅当b2c＝c

c2a＋a≥2c2a

当且仅当c2a＝a

相加得a2b＋b＋b2c＋c＋c2a＋a≥2a＋

∴a2b+b2c+c2a≥a＋b＋c

跟踪训练1证明：因为x0，y0，z0，

所以yx+

xy+

xz+

所以yx+zxxy+zyxz

例2【解析】(1)1a+1b＝a+2ba+a+2bb＝3＋2ba+ab

当2ba＝ab即a＝2－1，b＝2-

所以(1a+1b)min＝3

(2)方法一由题意知，x+1y+1xy＝xy+x+y+1xy＝1＋x+y+x+2yxy＝1＋2y+3x＝1＋(x＋2y)(2y+3x)＝8＋2xy+6yx≥8＋22xy·6yx＝8＋43，当且仅当2xy＝6yx，即

方法二x+1y+1xy＝x+x+2yy+x+2yxy＝2(xy+3yx＋4)≥2(23＋4)＝8＋43，当且仅当xy＝3yx，即x＝23－3，y＝2－3

【答案】(1)D(2)8＋43

跟踪训练2解析：(1)由x＋2y－xy＝0，