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2．2.2不等式的解集

【课程标准】

掌握不等式的解集，理解绝对值不等式，会解简单的不等式组．

新知初探·自主学习

教材要点

知识点一不等式的解集与不等式组的解集

一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．

知识点二绝对值不等式的几何意义

(1)数轴上两点之间的距离公式：数轴上两点A(a)，B(b)之间的距离AB＝________.

(2)数轴上两点的中点坐标公式：数轴上两点A(a)，B(b)的中点坐标x＝________．

(3)绝对值不等式的几何意义

不等式(m0)

解集的几何意义

|x|m

数轴上与原点的距离________m的所有数的集合

|x|m

数轴上与原点的距离________m的所有数的集合

|x－b|m

数轴上与表示b的点的距离小于m的所有数的集合

|x－b|m

数轴上与表示b的点的距离大于m的所有数的集合

知识点三绝对值不等式及其解法

(1)绝对值不等式的定义：含有绝对值的不等式．

(2)绝对值不等式的解集．

不等式(m0)

不等式的解集

|x|m

{x|－mxm}

|x|m

{x|xm或x－m}

(3)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法

①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c.

②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

基础自测

1.在数轴上从点A(－2)引一线段到B(1)，再同向延长同样的长度到C，则点C的坐标为()

A．13B．0C．4D．－2

2．不等式-2x-4＞0，x-3≤0

A．{x|x＜－2}B．{x|x＜2}

C．{x|－2＜x≤3}D．{x|－2＜x＜3}

3．不等式|x＋1|＜5的解集为________．

4．求不等式|x＋2|＋|x－1|5的解集．

课堂探究·素养提升

题型1不等式(组)的解集[经典例题]

例1熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此类问题的关键．

(1)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：

①2x+3

②x-

(2)求关于x的不等式的解集：

①2x＋a0；②ax1.

方法归纳

一元一次不等式组的求解策略

(1)解不等式常用到的不等式的性质

性质1ab?a＋cb＋c

性质2ab，c0?acbc

性质3ab，c0?acbc

推论a＋bc?ac－b

(2)解不等式(组)的注意点

①移项要改变项的符号．

②利用性质3时要改变不等号的方向．

③不等式组的解集是构成不等式组的各个不等式解集的交集．

跟踪训练1(1)不等式组2x+1≤3，-x-2＞0

A．{x|x＜－2}B．{x|－2＜x≤1}

C．{x|x≤－2}D．{x|x≥－2}

(2)已知不等式ax－1x＋2的解集为(2，＋∞)，求a的值．

题型2解绝对值不等式

例2求下列绝对值不等式的解集：

(1)|3x－1|≤6；

(2)3≤|x－2|4.

方法归纳

1．绝对值不等式的解题策略：等价转化法

(1)形如|x|a，|x|a(a0)型不等式：

|x|a?－axa.

|x|a?xa或x－a.

(2)形如a|x|b(ba0)型不等式：

a|x|b(0ab)?axb或－bx－a.

2．解绝对值不等式的基本步骤

(1)去绝对值号，进行等价转化；

(2)解不含绝对值号的不等式．

跟踪训练2解不等式：1＜|x－2|≤3.

例3解下列不等式：

(1)|x－1|＞|2x－3|；

(2)|x－1|＋|x－2|＞2.

跟踪训练3不等式|x＋3|－|x－3|＞3的解集是()

A．{x|x＞32}B．{x|32x

C．{x|x≥3}D．{x|－3＜x≤0}

题型3数轴上的基本公式及应用[经典例题]

例4已知数轴上的三点A，B，P的坐标分别为A(－1)，B(3)，P(x)．

(1)点P到A，B两点的距离都是2时，求P(x)，此时P与线段AB是什么关系？

(2)在线段AB上是否存在一点P(x)，使得P到A和B的距离都是3？若存在，求P(x)，若不存在，请说明理由．

方法归纳

数轴上基本公式的应用

(1)已知数轴上两点的坐标可用两点间的距离公式求距离，若已知两点间的距离，也可用距离公式求相应点的坐标；

(2)中点坐标公式可以解决三点共线问题．其中已知两点坐标，可用公式求第三点的坐标．

跟踪训练4已知数轴上三点P(－8)，Q(m)，R(2)．若PQ的中点到线段PR中点的距离大于1，求实数m的取值范围．

能力提升练

1.若关于x的不等式|x＋1|＋|x－3|≤|a|存在实数解，则实数a的取值范围是________．

2．(新定义题)对x，y定义一种新运算T.