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北京市第171中学2024年高三5月质量调查(三)数学试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤;斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现在有一根金箠,长五尺在粗的一端截下一尺,重斤;在细的一端截下一尺,重斤,问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设,假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列,则从粗端开始的第二尺的重量是()
A.斤 B.斤 C.斤 D.斤
2.已知正项等比数列的前项和为,则的最小值为()
A. B. C. D.
3.已知实数,则下列说法正确的是()
A. B.
C. D.
4.已知集合,则()
A. B.
C. D.
5.已知二次函数的部分图象如图所示,则函数的零点所在区间为()
A. B. C. D.
6.设、分别是定义在上的奇函数和偶函数,且,则()
A. B.0 C.1 D.3
7.数列满足,且,,则()
A. B.9 C. D.7
8.设F为双曲线C:(a0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为
A. B.
C.2 D.
9.已知△ABC中,.点P为BC边上的动点,则的最小值为()
A.2 B. C. D.
10.已知,则的值等于()
A. B. C. D.
11.将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后,得到函数的图象,则“”是“是偶函数”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
12.港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车,它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程,桥隧全长55千米.桥面为双向六车道高速公路,大桥通行限速100km/h,现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查.画出频率分布直方图(如图),根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为()
A.300, B.300, C.60, D.60,
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知若存在,使得成立的最大正整数为6,则的取值范围为________.
14.如图,在三棱锥中,平面,,已知,,则当最大时,三棱锥的体积为__________.
15.已知无盖的圆柱形桶的容积是立方米,用来做桶底和侧面的材料每平方米的价格分别为30元和20元,那么圆桶造价最低为________元.
16.在平面直角坐标系中,双曲线的一条准线与两条渐近线所围成的三角形的面积为______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知直线与椭圆恰有一个公共点,与圆相交于两点.
(I)求与的关系式;
(II)点与点关于坐标原点对称.若当时,的面积取到最大值,求椭圆的离心率.
18.(12分)已知数列是公比为正数的等比数列,其前项和为,满足,且成等差数列.
(1)求的通项公式;
(2)若数列满足,求的值.
19.(12分)设椭圆,直线经过点,直线经过点,直线直线,且直线分别与椭圆相交于两点和两点.
(Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点,且直线轴,求四边形的面积;
(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0,四边形为平行四边形,求证:;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形能否为矩形,说明理由.
20.(12分)已知在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosB
(1)求b的值;
(2)若cosB+3sin
21.(12分)已知函数()的图象在处的切线为(为自然对数的底数)
(1)求的值;
(2)若,且对任意恒成立,求的最大值.
22.(10分)如图,四棱锥E﹣ABCD的侧棱DE与四棱锥F﹣ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直,,//,.
(1)证明://平面BCE.
(2)设平面ABF与平面CDF所成的二面角为θ,求.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
依题意,金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列,则,由此利用等差数列性质求出结果.
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