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广东省梅州市2023-2024学年高一下学期7月期末考试
数学试题
注意事项:本试卷共6页,19小题,满分150分.考试用时120分钟.
1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的学校、班级、考生号、姓名和座号填写在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.
3.作答必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.
1.复数(其中为虚数单位)在复平面内对应的点位于第()象限
A.一 B.二 C.三 D.四
2.某校举行演讲比赛,9位评委对参赛选手李明的评分分别为87,85,91,95,90,92,96,88,83则这组数据的第70百分位数是()
A.92 B.91.5 C.91 D.90
3.如图,水平放置的的直观图恰为腰长为2的等腰直角三角形,则中最长边的长为()
A. B.4 C. D.6
4.设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中真命题是()
A若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
5.已知,则()
A. B. C. D.
6.有甲、乙两个盒子,甲盒装有编号为1,2,3,4,5的5个球,乙盒装有编号为1,2,3的3个球,每个球大小相同、材质均匀,各盒中每个球被抽取的概率相同,现从两个盒子中各取出1个球,设事件“从甲盒中所抽取的球的编号小于3”,“两个球编号之和为偶数”,则()
A. B. C. D.
7.在中,角A,B,C的对边分别为,要使此三角形的解有两个,则的取值范围为()
A. B. C. D.
8.如图,在扇形AOB中,扇形的半径为,点在弧上移动,.当时,()
A. B. C.2 D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.某中学三个年级学生共2000人,且各年级人数比例如以下扇形图.现因举办校庆活动,以分层抽样方式从中随机选出志愿服务小组,已知选出的志愿服务小组中高一学生有32人,则下列说法正确的有()
A该学校高一学生共800人 B.志愿服务小组共有学生96人
C.志愿服务小组中高三学生共有20人 D.某高三学生被选入志愿服务小组的概率为
10.已知函数,则下列说法正确的有()
A.函数的一条对称轴为
B.区间上单调递增
C.的图象可由的图象向右平移个单位得到
D.方程在区间上恰有三个不等的实根
11.如图,正方体的棱长为2,M为棱的中点,为棱上(含端点)的动点,则下列说法中,不正确的是()
A.当为棱上的中点时,平面经过顶点
B.当为棱上的中点时,则平面
C.当且仅当点运动到顶点时,三棱锥的体积最大
D.棱上存在点,使得
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.在平面直角坐标系中,已知为原点,点,则与夹角的余弦值______.
13.若复数(其中为虚数单位,)满足为实数,则______.
14.如图,已知平面,分别为棱上的动点(含端点),则线段长度的最小值为______.
四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(1)已知复数(其中为虚数单位)满足,求实数的值;
(2)在复数范围内,解方程:.
16.为了解学生体育运动时间,督促学生加强锻炼,甲、乙两个班的班主任分别对所在班学生进行体育锻炼时长调查.将甲班50名学生的周平均体育锻炼时长(单位:小时)数据分成4组:[4,6),[6,8),[8,10),[10,12],根据分组数据制成了如下图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值,并估计甲班学生周平均体育锻炼时长的平均数;
(2)乙班48名学生中周平均体育锻炼时长在8小时以上的有16人,用频率估计概率,现从甲乙两个班中各随机抽查一位学生,求其中至少有一位学生的周平均体育锻炼时长在8小时以上的概率.
17.在中,角A,B,C所对的边分别为的平分线BD交AC于点.
(1)求证:;
(2)若.
(ⅰ)求;
(ⅱ)若,求的面积.
18.如下图,四棱锥底面是等腰梯形,平面,.
(1)求证:
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