初中数学几何线段及线段和、差的最值问题探析.docx

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初中数学几何线段及线段和、差的最值问题探析

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初中数学几何线段及线段和、差的最值问题探析

一、一般处理方法

（一）常用定理

（1）两点之间，线段最短（已知两个定点时）

（2）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）

（3）三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）

PA+PB最小，需转化，使点在线异侧

|PA-PB|最大，需转化，使点在线同侧

具体例题分析

类型一利用两点之间线段最短

1.立体图形平面展开图求最短路径

例1.有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离。

试题分析：此题为常规题型，碰到立体图形中的最短路径问题把它展开成平面图形再利用两点之间线段求解即可。

解：AB=4，

BC为底面周长的一半

即BC=5π

AC==

=

答：蚂蚁爬行的最短距离为cm。

2.通过作轴对称求距离之和的最小值

例2：如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10.在OA上有一点Q，OB上有一点R.若△PQR周长最小，则最小周长是（）

A.10B.15C.20D.30

试题分析：此题出现一个定点两条定直线，所以我们是通过这个定点分别关于这两条直线作对称点，再根据三角形三边关系，最终转为两点之间线段最短来处理。

解：设∠POA=θ，则∠POB=30°﹣θ，

作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM.

作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN.

连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，

则△PQR即为周长最短的三角形.

∵OA是PE的垂直平分线，

∴EQ=QP；

同理，OB是PF的垂直平分线，

∴FR=RP，

∴△PQR的周长=EF.

∵OE=OF=OP=10，

且∠EOF=∠EOP+∠POF

=2θ+2（30°-θ）=60°，

∴△EOF是正三角形，∴EF=10，

即在保持OP=10的条件下△PQR的最小周长为10.

故选A.

3.利用平移求线段和的最小值

例3：荆州护城河在CC处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD、EE，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直.如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？

试题分析：由于含有固定线段“桥”，导致不能将ADD’E’EB通过轴对称直接转化为线段，需要构造平行四边形将AD、BE平移至D’F、E’G，即可得到桥所在位置

解：作AF⊥CD，且AF=河宽，作BG⊥CE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E’、D’，作DD’、EE’即为桥

证明：由做法可知，AF∥DD’，AF=DD’，则四边形AFDD’为平行四边形

于是AD=FD’

同理，BE=GE’

由两点之间线段最短可知，GF最小

即当桥建于如图所示位置时，ADD’E’EB最短

二、利用垂线段最短求最值

1.通过转移点，转化为一个定点到一条定直线的距离的最小值

例1：如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）

A.3B.C.D.6

试题分析：此题，两条线段涉及到三个点，其中B为定点，另外两个点均为动点，但通过角平分线这个条件可以把BM转化成关于线段AD对称的线段EM.从而把两条线段之和的最值转化为点E到直线AB的最短距离。

解：在AC上取一点E，使得AE=AB，过E作EN⊥AB于N′，交AD于M，连接BM，BE，BE交AD于O，则BM+MN’最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），

∵AD平分∠CAB，AE=AB，

∴EO=OB，AD⊥BE，

∴AD是BE的垂直平分线（三线合一），

∴E和B关于直线AD对称，

∴EM=BM，

即BM+MN′=EM+MN′=EN′，

∵EN’⊥AB，

∴∠EN’A=90°，

∵∠CAB=60°，

∴∠AEN′=30°，

∵AE=AB=6，

∴AN’=AE=3，

在△AEN’中，由勾股定理得：EN’=，

即BM+MN的最小值是.

故选B.

2.通过勾股定理转移线段转化为垂线段最短

例2.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为.

试题分析：此题由于E、F两点均为动点，若按常规思路直接求其最值感觉无从下手，而此时