人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第5章 一元函数的导数及其应用 5.3.2 第1课时 函数的极值.ppt

第1课时函数的极值第五章5.3.2

内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑

自主预习新知导学

一、极值点与极值1.如图,观察函数y=f(x)的图象,函数f(x)在x=d,e,f,g,h,i等点处的函数值与这些点附近的函数值大小关系是什么?y=f(x)在这些点的导数值是多少?在这些点附近,y=f(x)的导数的符号有什么规律?提示:以x=d,e两点为例,函数y=f(x)在点x=d处的函数值f(d)比它在点x=d附近其他点的函数值都小,f(d)=0;而且在点x=d附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0.类似地,函数y=f(x)在点x=e处的函数值f(e)比它在点x=e附近其他点的函数值都大,f(e)=0;而且在点x=e附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0.

2.(1)极小值点与极小值若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,就把a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,就把b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.(3)极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.

3.(1)导数为0的点一定是极值点吗?提示:不一定.如函数f(x)=x3,虽然f(x)=3x2=0,解得x=0,但是在点x=0的左右两侧恒有f(x)=3x20,即函数f(x)在R上是增函数.故0不是函数f(x)=x3的极值点.(2)极大值一定比极小值大吗?提示:极大值与极小值之间无确定的大小关系.在某一点的极小值可能大于另一点的极大值.

4.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),其导函数f(x)在区间(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析:根据极小值的定义,在极小值点的左右两侧,导函数的图象分别在x轴的下方和上方,由题图知,有1个点符合,故选A.答案:A

二、函数极值的求法1.函数的极值与函数的单调性有什么联系?提示:极值点两侧函数的单调性相反,欲研究函数的极值,需先研究函数的单调性.2.求函数y=f(x)的极值解方程f(x)=0,当f(x0)=0时,(1)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值;(2)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值.

3.函数f(x)=1+3x-x3有()A.极小值-1,极大值1 B.极小值-2,极大值3C.极小值-2,极大值2 D.极小值-1,极大值3解析:f(x)=3-3x2,令f(x)=3-3x2=0,解得x=±1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表所示.所以,当x=-1时,函数f(x)有极小值-1;当x=1时,函数f(x)有极大值3.答案:Dx(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f(x)-0+0-f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减

合作探究释疑解惑

探究一求函数的极值令f(x)=0,解得x=1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表.因此,当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=3,无极大值.x(0,1)1(1,+∞)f(x)-0+f(x)单调递减3单调递增

反思感悟求解函数的极值和极值点的步骤(1)确定函数的定义域.(2)求方程f(x)=0的实根.(3)用方程f(x)=0的实根顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列表格.(4)由f(x)在方程f(x)=0的实根左右的符号,来判断f(x)在这个实根处取极值的情况.

【例2】已知a0,函数f(x)=x2-(a+1)x+a(1+lnx).求函数f(x)的极值点和极值.①若0a1,则当x∈(0,a)时,f(x)0,则函数f(x)单调递增;当x∈(a,1)时,f(x)0,则函数f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f(x)0,则函数f(x)单调递增.此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点,所以函数f(x)在定义域(0,+∞)内单调递增,此时f(x)无极值点,故无极值.

③若a1,则当x∈(0,1)时,f(x)0,则函数f(x)单调递增;当x∈(1,a)时,f(x)0,则函数f(x)单调递减;当x∈(a,+∞)时,f(x)0,则函数f(x)单调递增.此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点,反思感悟求含参数函数的极值注意