人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第5章 一元函数的导数及其应用 5.2.1 基本初等函数的导数.ppt

5.2.1基本初等函数的导数第五章5.2

内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑

自主预习新知导学

一、几个常用函数的导数1.(1)请同学们回忆,根据导数的定义求导数的步骤.提示:以求函数y=f(x)的导数为例.第一步,求Δy=f(x+Δx)-f(x);

2.

3.正比例函数的图象有什么特点?与其导数的关系是什么?提示:正比例函数的图象是过原点的直线,其斜率为常数,故正比例函数的导数为常数,该常数是直线的斜率.4.设y=e3,则y等于()A.3e2 B.e2C.0 D.以上都不是解析:∵y=e3是一个常数,∴y=0.故选C.答案:C

二、基本初等函数的导数公式1.利用函数y=x,y=x2的导数,猜想函数y=xα(α∈R,且α≠0)的导数是什么?提示:函数y=xα(α∈R,且α≠0)的导数是y=αxα-1.

2.基本初等函数的导数公式:(1)若f(x)=c(c为常数),则f(x)=0.(2)若f(x)=xα(α∈R,且α≠0),则f(x)=αxα-1.(3)若f(x)=sinx,则f(x)=cosx.?(4)若f(x)=cosx,则f(x)=-sinx.?(5)若f(x)=ax(a0,且a≠1),则f(x)=axlna;特别地,若f(x)=ex,则f(x)=ex.?

3.函数y=lgx的导数为()答案:C

合作探究释疑解惑

探究一利用导数公式求函数的导数【例1】求下列函数的导数.(1)y=x8; (2)y=; (3)y=2x.解:(1)y=(x8)=8x8-1=8x7.(3)y=(2x)=2xln2.反思感悟求基本初等函数的导数有两种基本方法(1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂;(2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征,先将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式.

【变式训练1】求下列函数的导数.

探究二利用导数公式求切线方程【例2】已知曲线y=,求过曲线上某点与直线y=2x-4平行的切线方程.

反思感悟1.曲线y=f(x)在点P处的切线只有一条,但过点P求曲线y=f(x)的切线时,点P不一定是切点,故应设出切点坐标,并求出切点坐标,有几个切点就有几条切线.2.解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系:一是切点坐标满足曲线方程;二是切点坐标满足对应切线的方程;三是切线的斜率是曲线所对应的函数在此切点的横坐标处的导数值.

【变式训练2】已知曲线y=.求:(1)曲线在点P(1,1)处的切线方程;(2)曲线过点Q(1,0)处的切线方程.(1)所以曲线在点P(1,1)处的切线斜率k=y|x=1=-1.所以曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=-(x-1),即y=-x+2.

探究三导数的简单综合应用【例3】某质点沿直线运动,位移y(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为y(t)=sint,则质点在t=s时的速度为m/s;质点运动的加速度为m/s2.?∵v(t)=cost,∴加速度a(t)=v(t)=(cost)=-sint(m/s2).

【变式训练3】已知两条曲线y=sinx,y=cosx,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直?并说明理由.解:不存在.理由如下:假设存在这两条曲线的一个公共点,其坐标为P(x0,y0),则这两条曲线在P(x0,y0)处的切线的斜率分别为k1=cosx0,k2=-sinx0.若两条切线互相垂直,则cosx0·(-sinx0)=-1,即sinx0·cosx0=1,也就是sin2x0=2,这是不可能的.故两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条曲线的切线互相垂直.

本课结束