人教A版高中数学必修第一册精品课件 第5章 三角函数 5.7 三角函数的应用.ppt

5.7三角函数的应用

自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易错辨析

自主预习·新知导学

一、弹簧振子的运动模型1.一个弹簧振子做简谐振动,在完成一次全振动的过程中,时间t(单位:s)与位移y(单位:mm)之间的关系如图所示.

(1)若用函数y=Asin(ωt+φ)(A0,ω0,|φ|π)来刻画位移y随时间t的变化规律,你能写出y关于t的函数解析式吗?(2)函数y=Asin(ωt+φ)中的参数A,ω,φ对其图象有怎样的影响?提示:A影响函数的最值,ω影响函数的周期,φ决定函数的具体位置.

二、拟合函数模型我们可以利用收集到的数据,首先画出相应的“散点图”并观察,然后进行函数拟合获得具体的函数模型,最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型.(√)(2)在研究具体问题时,我们常常利用搜集到的数据,作出相应的“散点图”来获得相应的函数模型.(√)(3)函数y=|cosx|的图象是以2π为周期的波浪形曲线.(×)

合作探究·释疑解惑

探究一三角函数模型在物理中的应用分析:确定函数y=Asin(ωx+φ)中的参数A,ω,φ的物理意义.【例1】已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,规定向上为正方向,小球离开平衡位置的位移s(单位:cm)随时间t(单位:s)的变化规律为,t∈[0,+∞).作出这个函数的简图,并回答下列问题.(1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少?(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少?(3)经过多长时间小球往复振动一次?

解:列表如下:

描点、连线,图象如图所示.

反思感悟三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多,解决这类问题时要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.

(1)作出该函数的图象;(2)当单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置的距离是多少?(3)当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的距离是多少?(4)单摆来回摆动一次需多长时间?

解:(1)利用“五点法”可画出其图象,如图.

探究二数据拟合问题【例2】某港口的水深y(单位:m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,下面是有关时间t与水深y的数据:(1)在平面直角坐标系中描出上表中的点.(2)根据表中的数据,你能选用一个函数描述时间与水深的关系吗?并求出选用函数的解析式.

分析:(1)先建立平面直角坐标系,再描点;(2)根据散点分布趋势,寻找函数关系.

解:(1)以时间t(单位:h)为横轴,水深y(单位:m)为纵轴,建立平面直角坐标系.在平面直角坐标系中画出散点图,如图所示.

反思感悟1.本题中没有明确函数的类型,可通过画散点图来拟合曲线.2.此类问题的一般解法是先由表中数据分析求出待定系数,再转化为三角不等式对实际问题进行预测判断.因为实际问题的背景往往比较复杂,所以要注意认真审题,从中抽取基本的数学关系.

【变式训练2】已知某海滨浴场海浪的高度y(单位:m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作:y=f(t),下表是某日各时的浪高数据.(1)根据以上数据,求函数y=f(t)的函数解析式;(2)依据规定,当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内8:00至20:00之间,有多少时间可供冲浪爱好者进行运动?

解:(1)由表中数据描出各点,并把这些点用光滑的曲线连接起来(如图),

所以在8:00至20:00之间,有6个小时的时间可供冲浪爱好者运动,即上午9:00至下午15:00.

易错辨析

不能正确认识简谐运动的过程致错【典例】弹簧振子以点O为平衡位置,在B,C两点间做简谐运动,B,C两点相距20cm,初始时刻振子处在点B,经0.5s振子首先到达点C.求:(1)振子振动的振幅、周期和频率;(2)振子在5s内通过的路程及这时相对平衡位置的距离的大小.

错解:(1)因为B,C两点相距20cm,所以振幅A=20cm.因为振子从点B经0.5s首次达到点C,所以周期T=0.5s,频率(2)5s内的路程=距离=5A=100(cm).以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:(1)算错了振幅,误认为B,C两点的距离是振幅,算错了周期,误认为由点B到点C是一个周期,实际上是半个周期;(2)混淆了物理上的路程和位移,导致错解.

正解:(1)设振幅为A,则2A=20cm,即A=10cm.设周期为T,则,T=1s,故频率f