人教A版高中数学必修第一册精品课件 第4章 指数函数与对数函数 4.5.1 函数的零点与方程的解.ppt

4.5函数的应用(二)4.5.1函数的零点与方程的解

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一、函数零点的概念1.我们已经学习过二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点,它是指使得ax2+bx+c=0的实数x.(1)二次函数的零点是几何中的“点”吗?提示:(1)不是,二次函数的零点是一个实数.(2)f(x),g(x),h(x)都存在,p(x)不存在.

2.对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.3.函数y=2x-5,y=x2-3x+2,y=2x-1,y=ln(x-2)的零点分别是什么?它们的图象与x轴的交点坐标分别是什么?方程2x-5=0,x2-3x+2=0,2x-1=0,ln(x-2)=0的解分别是什么?

4.方程f(x)=0有实数解?函数y=f(x)有零点?函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.答案:B

二、函数零点存在定理1.给出下列函数图象,根据图象分析判断:①②③④

(1)如果函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,且f(a)f(b)0,那么f(x)在区间(a,b)内是否一定有零点?(2)如果函数f(x)在区间[a,b]上的图象不连续,但f(a)f(b)0,那么f(x)在区间(a,b)内是否一定有零点?(3)如果函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,但f(a)f(b)0,那么f(x)在区间(a,b)内是否一定有零点?提示:(1)一定有.(2)不一定.(3)不一定.

2.函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.

3.做一做:若函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,且f(a)f(b)0,则函数f(x)在区间(a,b)内()A.必有唯一零点B.一定没有零点C.必有无数个零点D.可能有两个零点答案:D

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)所有的函数都有零点.(×)(2)若方程f(x)=0有两个不相等的实根x=x1,x=x2,则函数y=f(x)的零点为(x1,0),(x2,0).(×)(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则一定有f(a)·f(b)0.(×)(4)若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象连续,且在区间(a,b)内没有零点,则一定有f(a)·f(b)0.(√)

(5)若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象连续,且是单调函数,则f(x)在区间(a,b)内至多有一个零点.(√)

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探究一求函数的零点

反思感悟求函数零点的基本方法(1)求函数的定义域;(2)令f(x)=0,求出x的值;(3)判断x的值是否符合函数的定义域,若符合,则为函数的零点.

【变式训练1】若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-1,4,则函数g(x)=bx-a的零点是.?

探究二求函数零点所在的区间A.(3,4) B.(2,e) C.(1,2) D.(0,1)(2)根据表格内的数据,可以断定方程ex-x-3=0的一个解所在的区间是()A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)

解析:(1)因为f(1)=ln2-20,f(2)=ln3-10,且函数f(x)在区间(0,+∞)内的图象连续不断,所以函数的零点所在的大致区间为(1,2).(2)构造函数f(x)=ex-x-3,由题表可得f(-1)=0.37-2=-1.630,f(0)=1-3=-20,f(1)=2.72-4=-1.280,f(2)=7.39-5=2.390,f(3)=20.09-6=14.090,可知f(1)f(2)0,所以方程的一个解所在的区间为(1,2).答案:(1)C(2)C

反思感悟判断函数的零点所在区间的三个步骤(1)代入:将区间端点值代入函数求出函数的值.(2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断.(3)结论:若符号为负且函数的图象是连续的,则函数在该区间内至少有一个零点.

探究三判断函数零点的个数【例3】求函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数.解:(方法一)因为f(0)=1+0-2=-10,f(1)=2+lg2-20,又函数f(x)的图象连续不断,所以f(x)在区间(0,1)内一定存在零点.又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+∞)内单调递增,所以函数f(x)有且只有一个零点.

(方法二)由f(x)=2x+lg(x+1)-2=0