人教A版高中数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线的方程 3.1.2 第2课时 椭圆简单几何性质的应用.ppt

第2课时椭圆简单几何性质的应用第三章3.1.2

内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑

自主预习新知导学

一、点与椭圆的位置关系

二、直线与椭圆的位置关系1.直线与椭圆的位置关系

A.相离 B.相切C.相交 D.无法确定Δ=22+12=160,故直线与椭圆相交.答案:C

合作探究释疑解惑

探究一生活中的椭圆【例1】某海域有A,B两个岛屿,B岛在A岛正东4海里处,经多年观察研究发现,某种鱼群洄游的路线是曲线C,曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群.以A,B所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C的标准方程;(2)某日,研究人员在A,B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同),A,B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3,问你能否确定P处的位置(即点P的坐标)?分析:(1)根据椭圆的定义求解;(2)利用点P既在椭圆上,又满足到点B的距离为3求解.

解:(1)由题意知曲线C是以A,B为焦点且长轴长为8的椭圆,(2)由于A,B两岛收到鱼群发射信号的时间比为5∶3,所以此时距A,B两岛的距离比为5∶3,即鱼群分别距A,B两岛的距离为5海里和3海里.所以x=2,y=±3,所以点P的坐标为(2,3)或(2,-3).

反思感悟解决和椭圆有关的实际问题的思路(1)通过数学抽象,找出实际问题中涉及的椭圆,将原问题转化为数学问题.(2)确定椭圆的位置及要素,并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解.(3)用解得的结果说明原来的实际问题.

【变式训练1】某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状(如图所示),最大拱高h为6米,路面设计是双向车道,车道总宽为8米,如果限制通行车辆的高度不超过4.5米,那么隧道设计的拱宽d至少应是米.?∵车辆高度不超过4.5米,∴a≥16,d=2a≥32,故拱宽至少为32米.答案:32

探究二直线与椭圆的位置关系【例2】已知直线y=x+m与椭圆,当直线和椭圆相离、相切、相交时,分别求m的取值范围.分析:将直线方程与椭圆方程联立,利用判别式Δ判断.

故Δ=(32m)2-4×25×(16m2-144)=9×43(25-m2).当Δ0,即-5m5时,直线和椭圆相交;当Δ=0,即m=±5时,直线和椭圆相切;当Δ0,即m5或m-5时,直线和椭圆相离.综上所述,当m5或m-5时直线与椭圆相离;当m=±5时,直线与椭圆相切;当-5m5时,直线与椭圆相交.

反思感悟判断直线与椭圆的位置关系时,联立直线方程与椭圆方程,消元后得到关于x(或y)的一元二次方程,利用判别式Δ与0的大小比较来判断.当Δ0时,直线与椭圆相交;当Δ=0时,直线与椭圆相切;当Δ0时,直线与椭圆相离.提醒:注意方程组的解与交点个数之间的等价关系.

【变式训练2】若直线y=kx+1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆总有公共点,求m的取值范围.Δ=100k2-20(m+5k2)(1-m)=20m(5k2+m-1).∵直线与椭圆总有公共点,∴Δ≥0对任意k∈R都成立.∵m0,∴5k2≥1-m恒成立,∴1-m≤0,即m≥1.又椭圆的焦点在x轴上,∴0m5,∴1≤m5.

解法二:∵直线y=kx+1过定点M(0,1),∴要使直线与该椭圆总有公共点,则点M(0,1)必在椭圆内或椭圆上,

探究三弦长问题【例3】已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.分析:(1)将直线方程与椭圆方程联立,根据判别式Δ的符号,建立关于m的不等式求解;(2)利用弦长公式建立关于m的函数解析式,通过函数的最值求得m的值,从而得到直线方程.

(2)设直线与椭圆交于点A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)知,5x2+2mx+m2-1=0.

反思感悟求直线被椭圆截得的弦长的两种方法:(1)求出直线与椭圆的两交点坐标,用两点间距离公式求解;(2)用弦长公式求解,其中k为直线AB的斜率,A(x1,y1),B(x2,y2).提醒:如果直线方程涉及斜率,要注意斜率不存在的情况.

【变式训练3】(1)已知椭圆4x2+5y2=20的左焦点为F,过点F且倾斜角为45°的直线l交椭圆于A,B两点,求弦长|AB|.(2)椭圆有两个顶点A(-1,0),B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C,D两点,若|CD|=,求直线l的方程.

当直线l垂直于x轴时,与题意不符,设直线l的方程为y=kx+1,将其代