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线性方程组

;2．1消元法;②一个矩阵，可表示为A或。;②一般地一个矩阵经过初等变换后，变成了另一个矩阵。;r行(1)进而化为以下形式：;证明：若矩阵A的所有元素都是零。则A也是（1）的形式

若A的某一个元素不为零，则通过交换矩阵的行和列可以把这个元素换到

左上方去，又用去乘第一行，使得左上方的元素为１。然后由其余各行分别减去第一行适当的倍数。矩阵Ａ就化为：;在B中，若除第一行外，其余各行的元素全为零，则B也是（1）的形式。若B中右下行的一块;交点上。然后用与上面同样的方法可把B化为：;;有关矩阵的基本概念，现在回过头来研究一般线性方程组。;称为方程组（1）的增广矩阵。;解：第二个方程减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程得：;可以取任何值。;

;

;⑶有解，又⑴与⑵同解。;方程组⑷中“0=0”是一些恒等式，;;;;;;则;在有解的情况下,如果阶梯形方程组中方程个数r等于未知量个数n,;解：;得出最后矩阵对应的方程组：;解：; ;;4．2矩阵的秩线形方程组可解的判别法;（甲）上节知道（1）的系数矩阵;并且看到：;（乙）关于方程组（1）什么时候有解，什么时候 无解的原因还不清楚。;定义1在一个的矩阵中，任取k行k列位于这些行列交点处的个元素按顺序构成k阶行列式叫这个矩阵的一个k阶子式。;问题：在矩阵（3）;首先假设r这时矩阵（3）含有一个r子式：

;定义2.一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫这个矩阵的秩；若一个矩阵没有等于零的子式，就认为这个矩阵的秩是零。;定理1初等变换不改变矩阵的秩;下列我们只证明第三种初等变换后，矩阵的秩不变：;我们要证明：秩B=秩A，即证明秩B即可。;（ⅰ）D不含第i行元素，这时D也是A的一个s阶子式。由于秩A=r且sr

;;;（因为后一行列式是A的一个S阶子式.）;其中;=0又与A的一个S阶子式最多相差一个符号.;由于A;对于另两种初等变换来说,可以完全

类似地证明;利用初等变换把A化为形式为：;的矩阵，然后数一数有几个含有非零

元素的行的行数即为A的秩。;即A＝;由前面所学的知识。矩阵A可以进行初

等变换为：;对;;由此得：或者;1.例子：;同样：把方程组;;;例看(1)的原;为此，我们把;;这就证明了（1）的第m-r个方程都是第r个方程的结果。而解（1）归纳为解方程组（2）。

说明：①由定理得：如果与的秩都是r.则可用r个方程代替原方程组.即（2）代替（1）.;暂时把记为已知量,则（2）就是r个未知量,r个方程的方程组.由克莱姆法则可解出来:;为自由未知量,只要给定的自由未知量一组数,就可求出的对应值,并且(1)的所有解都可以这样得到.;故(4)称为(1)的公式解

说明:用公式来求线性方程组的解是比较麻烦的,因为需要计算许多行列式.因此,实际求解时,一般总是用消元法.但在对方程进行讨论时,即它在理论上是很重要的.;;作为自由未知量及：;;;就是它的一个解，这个解称为零解。;当r=n时，有一个解，即零解。

当rn时，有无穷多个解，因而除零解外，必然有非零解。;推论2在一个齐次线性方程组中，若方程个数m小于未知量个数n，则有非零解。

事实上：系数矩阵的秩不超过m，因而小于n，故有非零解。;矩阵;3.0矩阵的概念;矩阵的应用;3.1矩阵的运算;

一个m行n列矩阵称为一个m×n矩阵。特别，把一个n×n矩阵叫做一个n阶方阵，或n阶矩阵。

以下我们引入三种运算：

数与矩阵的乘法，

矩阵的加减

矩阵的乘法。

;定义1

数域F的数a与F上一个m×n矩阵A=（a）的乘积aA指的是m×n矩阵（a）。求数与矩阵乘积的运算叫做数与矩阵的乘法。

注意，用a去乘以的每一个元素a

;

我们把由F的n个数所组成的