概率论与数理统计课件.pptx

随机变量及其分布

第一节随机变量及其分布函数;随机变量与实函数比较：

随机变量：定义域Ω，

实函数：定义域;二、随机变量的分布函数及其基本性质;随机变量落在几种常见区间的概率计算公式：

P(x)=F(x-0)；

P(x)=1-F(x)；

3.P(x)=1-F(x-0)。;离散型随机变量的分布列;例1设随机变量的分布列为;0-1分布的分布律可用统一表达式表述为;例2设有各耗电7.5千瓦的设备10台，每台设备的使用情况是相对独立的，且每台设备每小时平均工作12分钟。设对这10台设备提供容量为48千瓦的配电设施，试求该配电设施超载的概率。;3.超几何分布;4.泊松(Poisson)分布;定理2.3(Poisson定理)

设随机变量，其中与试验次数n有关。若，则;5.几何分布;概率密度函数的性质：;结论：设f(x)是非负函数，且满足关系式

则f(x)必是某随机变量的概率密度函数，的分布函数为;二、几种常见的连续型随机变量及其分布;例2设k在(0，5)服从均匀分布。求方程

有实根的概率。;正态分布密度函数的性质;标准正态分布的性质：;正态分布的概率计算公式：设;例3.设某产品的寿命(以小时计)

若要求P(120?200)0.8，允许?最大为多少?;其分布函数为;?-函数的常用公式;第五节随机变量函数的分布;又设y=g(x)是连续函数，则?=g(?)也是离散型随机变量，其分布律为;定理2.3设连续型随机变量?的密度函数为

y=g(x)有反函数x=h(y)，则?=g(?)也是连续型随机变量，其密度函数为

其中：?=min{g(a)，g(b)}，?=max{g(a)，g(b)}.;多维随机变量及其分布;(教材p75);(?，?)的联合分布函数F(x，y)的性质(教材p75)：;;二维随机变量(?，?)的分布律的性质(教材p76);例2(2002年数学三考研试题十一题第1小题)

设随机变量U在区间[-2，2]上服从均匀分布，随机变量

试求X和Y的联合概率分布。;定义3.4(教材p77)

设二维随机变量(?，?)的分布函数是F(x，y)，若存在非负函数f(x，y)，使对任何实数x，y，都有

则称(?，?)是连续型随机变量，称f(x，y)是(?，?)的概率密度(密度函数)，或称?与?的联合概率密度。;例4.已知二维随机变量(?，?)的密度函数为

设D={(x，y)｜x+y3}。求P((?，?)?D);

2)求(?，?)的分布函数。;二维均匀分布;二维正态分布(教材p82～83例3);边缘分布函数和联合分布函数间的关系：;离散型随机变量的边缘分布函数;联合分布律与边缘分布律的表;连续型随机变量的边缘分布函数;结论：设则;定义3.8(教材p84)

设(?，?)为二维离散型随机变量，对于固定的j，若

为在条件下?的条件分布律；

对于固定的i，若，称

为在条件下?的条件分布律。;问题：设连续型随机变量(?，?)的分布函数为F(x，y)，概率密度函数为f(x，y)，且f(x，y)在点处连续，?的边缘密度函数在处亦连续，问：;定义3.10设(?，?)为连续型随机变量，其密度函数为f(x，y)，边缘密度函数分别为和。

若0，称

为在?=y条件下，?的条件概率密度函数(条件密度)。

若0，称

为在?=x条件下，?的条件概率密度函数(条件密度)。;结论：设

对固定的x，

对固定的y，;第四节、相互独立的随机变量;定理3.1(教材p90)

若(?，?)为连续型随机变量，f(x，y)，

分别是(?，?)的概率密度和?，?的边缘密度函数，又设f(x，y)，

均处处连续。则?与?相互独立的充要