第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（九大题型）（讲义）（解析版）--2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）.docx

第04讲直线与圆、圆与圆的位置关系

目录TOC\o1-2\h\z\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03考点突破·题型探究 4

知识点1：直线与圆的位置关系 4

知识点2：圆与圆的位置关系 5

解题方法总结 5

题型一：直线与圆的位置关系的判断 6

题型二：弦长与面积问题 9

题型三：切线问题、切线长问题 13

题型四：切点弦问题 18

题型五：圆上的点到直线距离个数问题 23

题型六：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题 27

题型七：圆与圆的位置关系 34

题型八：两圆的公共弦问题 38

题型九：两圆的公切线问题 40

04真题练习·命题洞见 44

05课本典例·高考素材 47

06易错分析·答题模板 49

易错点：求与圆的切线有关的问题 49

答题模板：已知直线与圆、圆与圆的位置关系求参数 51

考点要求

考题统计

考情分析

（1）直线与圆的位置关系

（2）圆与圆的位置关系

2024年甲卷（文）第12题，5分

2023年乙卷（理）第12题，5分

2023年I卷第6题，5分

2023年II卷第15题，5分

2022年I卷第14题，5分

高考对直线与圆、圆与圆的位置关系的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，但命题形式上比较灵活，备考时应熟练掌握相关题型与方法，除了直线与圆、圆与圆的位置关系的判断外，还特别要重视直线与圆相交所得弦长及相切所得切线的问题．

复习目标：

（1）能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．

（2）能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．

知识点1：直线与圆的位置关系

1、几何法（圆心到直线的距离和半径关系）

圆心到直线的距离，则：

直线与圆相交，交于两点，；

直线与圆相切；

直线与圆相离

2、代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）

由，

消元得到一元二次方程，判别式为，则：

直线与圆相交；

直线与圆相切；

直线与圆相离．

【诊断自测】已知圆C：，直线：，则直线与圆C的位置关系为（????）

A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定

【答案】A

【解析】由直线，可得，所以直线过定点，

又，所以点在圆内部，所以直线与圆相交.

故选：A.

知识点2：圆与圆的位置关系

用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：

设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：

两圆相交；

两圆外切；

两圆相离

两圆内切；

两圆内含（时两圆为同心圆）

设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：

位置关系

相离

外切

相交

内切

内含

几何特征

代数特征

无实数解

一组实数解

两组实数解

一组实数解

无实数解

公切线条数

4

3

2

1

0

【诊断自测】（2024·广东广州·二模）若直线与圆相切，则圆与圆（????）

A．外切 B．相交 C．内切 D．没有公共点

【答案】B

【解析】直线与圆相切，

则圆心到直线的距离等于圆的半径1，

即，得.

圆的圆心坐标为，半径为，

其圆心在圆上，所以两圆相交.

故选：B

解题方法总结

关于圆的切线的几个重要结论

（1）过圆上一点的圆的切线方程为．

（2）过圆上一点的圆的切线方程为

（3）过圆上一点的圆的切线方程为

（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：

①所求切线一定有两条；

②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．

题型一：直线与圆的位置关系的判断

【典例1-1】（2024·安徽·模拟预测）已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（????）

A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定

【答案】C

【解析】因为直线，即，

当时，，解得，

所以直线表示过定点，且除去的直线，

将圆的方程化为标准方程为，因为，点在圆上，

所以直线与圆可能相交，可能相切，相切时直线为，不合题意，

所以直线与圆相交.

故选：C.

【典例1-2】已知集合，，则的子集个数为（????）．

A．2 B．3 C．4 D．1

【答案】C

【解析】集合表示直线上点的集合，集合表示圆上点的集合．

圆的圆心坐标为，半径为3，

点到直线的距离为，

所以直线与圆相交，

所以共有2个元素，所以的子集个数为．

故选：C．

【方法技巧】

判断直线与圆的位置关系的常见方法

（1）几何法：利用d与r的关系．

（2）代数法：联立方程之后利用Δ判断．

（