7.2.2 古典概型的应用.docxVIP

2．2古典概型的应用

教材要点

要点互斥事件的概率加法公式

在一个试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，则有P(A∪B)＝________．

特别地：P(A∪A)＝P(A)＋P(A)＝1，则P(A)＝________

一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则有P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋

状元随笔(1)概率的加法公式的应用前提是“事件A与事件B互斥”，否则不可用．

(2)对立事件的概率公式使用的前提必须是对立事件，否则不能使用．

(3)当一个事件的概率不易直接求出，但其对立事件的概率易求时，可运用对立事件的概率公式，即可使用间接法求概率．

教材答疑

1.[教材2.2思考交流]

E

E5

E12

A与B的关系

互斥

对立

互斥

P(A)

1

1

1

P(B)

1

5

1

P(A∪B)

2

1

1

P(A)＋P(B)

12+

16+

14+

2.[教材2.2思考交流]

当A，B不是互斥事件，概率加法公式不成立．

例如：一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，事件A“两个球中有红球”．

因为n(Ω)＝12，n(R1)＝n(R2)＝6，n(R1∪R2)

则P(R1∪RR2)＝1012≠P(R1)＋

这是因为R1∩R2＝{(1，2)，(2，1)}≠

即事件R1，R2不是互斥的．

基础自测

1.判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)事件A与事件B之和的概率等于事件A与事件B的概率之和．()

(2)设A，B是一个随机试验中的两个事件，则P(A∪B)≤P(A)＋P(B)．()

(3)事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．()

(4)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B一定是对立事件．()

2．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为(

A．56B．

C．16D．

3．在抛掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是16.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A∪C(C是事件B的对立事件)发生的概率是(

A．13B．

C．23D．

4．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为

题型1古典概型的综合应用——师生共研

例1如图所示是某市2024年2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．

(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；

(2)求此人在该市停留期间至多有1天空气重度污染的概率．

方法归纳

概率问题常常与统计问题结合在一起考查，涉及方程或者函数的有关概率问题，考查的是如何计算要求的事件A所包含的样本点的个数，通常需要将函数与方程的知识应用其中．解决此类问题，只需要利用函数、方程知识找出满足条件的参数的范围，从而确定样本点的个数，最后利用古典概型的概率计算公式进行计算．

跟踪训练1把一枚骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，试就方程组ax+by=3，

(1)求方程组只有一个解的概率；

(2)求方程组只有正数解的概率．

题型2互斥事件的概率——师生共研

例2黄种人群中各种血型的人所占的比例见下列：

血型

A

B

AB

O

该血型的人所占的比例/%

28

29

8

35

已知同种血型的人可以互相输血，O型血可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若他因病需要输血，问：

(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？

(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？

本题表格中所给的某种血型的人所占的比例其实就是该血型的概率．

方法归纳

运用互斥事件的概率加法公式解题的步骤：(1)确定题中哪些事件彼此互斥；(2)将待求事件拆分为几个互斥事件之和；(3)先求各互斥事件分别发生的概率，再求和．

跟踪训练2在数学考试中，小明的成绩在90分(及90分)以上的概率是0.18，在80分～89分(包括80分和89分，下同)的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，求：

(1)小明在数学考试中取得80分及以上的成绩的概率；

(2)小明数学考试及格的概率．

题型3对立事件的概率——师生共研

例3