人教A版高中数学必修第二册精品课件 第8章 立体几何初步 8.6.2 第2课时 直线与平面垂直的性质定理.ppt

8.6.2直线与平面垂直第2课时直线与平面垂直的性质定理

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一、直线与平面垂直的性质定理1.大家都读过茅盾先生的《白杨礼赞》,在广阔的西北平原上,矗立着一排排白杨树,它们像哨兵一样守卫着祖国疆土.一排排的白杨树,它们都垂直于地面,那么它们之间的位置关系如何呢?提示:平行.2.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行,那么在空间中,垂直于同一个平面的两条直线有怎样的位置关系?提示:平行.

3.(1)直线与平面垂直的性质定理(2)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的一种方法.(3)直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系.

4.已知△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则不重合的直线l,m的位置关系是()A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定解析:∵直线l⊥AB,l⊥AC,且AB∩AC=A,∴l⊥平面α,同理m⊥平面α.由线面垂直的性质定理可得l∥m.答案:C

二、直线与平面、两个平行平面间的距离的定义1.柱体的体积公式V=Sh(S为底面面积,h为高),柱体的高就是底面间的距离吗?提示:是的.2.(1)一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离.(2)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离.

3.若直线AB∥平面α,且点A到平面α的距离为2,则点B到平面α的距离为.?答案:2

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探究一直线与平面垂直的性质定理【例1】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD是矩形,AE⊥PD交PD于点E,l⊥平面PCD,求证:l∥AE.证明:∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD.∵四边形ABCD为矩形,∴CD⊥AD.又PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.∵AE?平面PAD,∴AE⊥CD.又AE⊥PD,PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD.∵l⊥平面PCD,∴l∥AE.

1.本例应用线面垂直的性质达到证明线线平行的目的,即线面垂直的性质提供了线线平行的依据.2.在空间证明线线平行的方法有:定义法、基本事实4、线面平行的性质定理、面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理等.

【变式训练1】如图,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证:EF∥BD1.

证明:如图所示,连接AB1,B1C,BD,∵DD1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,∴DD1⊥AC.又AC⊥BD,DD1∩BD=D,∴AC⊥平面BDD1,∵BD1?平面BDD1,∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C,又AC∩B1C=C,∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D,且A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.又EF⊥AC,AC∩B1C=C,∴EF⊥平面AB1C,∴EF∥BD1.

探究二直线与平面垂直的性质定理的运用【例2】如图,已知矩形ABCD,过点A作SA⊥平面AC,再过点A作AE⊥SB交SB于点E,过点E作EF⊥SC交SC于点F.求证:AF⊥SC.

证明:∵SA⊥平面AC,BC?平面AC,∴SA⊥BC.∵四边形ABCD为矩形,∴AB⊥BC.又SA∩AB=A,∴BC⊥平面SAB.∵AE?平面SAB,∴BC⊥AE.又SB⊥AE,且SB∩BC=B,∴AE⊥平面SBC,∴AE⊥SC.又EF⊥SC,且AE∩EF=E,∴SC⊥平面AEF,∴AF⊥SC.

若本例中已知条件添加:平面AEF交SD于点G,此时AG⊥SD又如何证明?证明:∵SA⊥平面AC,DC?平面AC,∴SA⊥DC.∵四边形ABCD为矩形,∴AD⊥DC.∵SA∩AD=A,∴DC⊥平面SAD.∵AG?平面SAD,∴DC⊥AG.又SC⊥平面AEF,AG?平面AEF,∴SC⊥AG.∵SC∩DC=C,∴AG⊥平面SDC,∴AG⊥SD.

1.直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线面、面面平行相互转化的桥梁,因此必须熟练掌握这些定理,并能灵活地运用它们.

2.直线与平面垂直的性质除性质定理外,还有如下性质:(1)若一条直线垂直于一个平面,则它就垂直于这个平面内的任意一条直线;(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面;(3)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它必垂直于另一个平面;(4)垂直于同一条直线的两个平面平行.

探究三空间中的距离问题【例3】若构成教室墙角的三个墙面记为α,β,γ,交线记为BA,BC,BD,教室内一点P到三墙面α,β,γ的距离分别为3m,4m,1m,则P与墙角B的