人教A版高中数学必修第二册精品课件 第8章 立体几何初步 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积.ppt

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易错辨析

自主预习·新知导学

一、圆柱、圆锥、圆台的表面积1.如何根据圆柱的展开图,求圆柱的表面积?提示:圆柱的侧面展开图是矩形,一边长是圆柱底面圆周长,另一边长是圆柱的高(母线).设圆柱的底面半径为r,母线长为l,则S圆柱侧=2πrl,S圆柱表=2πr(r+l).

2.如何根据圆锥的展开图,求圆锥的表面积?提示:圆锥的侧面展开图为一个扇形,半径是圆锥的母线长,弧长等于圆锥底面周长,侧面展开图扇形面积为即S圆锥侧=πrl,S圆锥表=πr(r+l),其中r为圆锥底面半径,l为母线长.

3.如何根据圆台的展开图,求圆台的表面积?

4.圆柱、圆锥、圆台的表面积

5.(1)如图,圆锥的底面半径为1,高为,则圆锥的表面积为.?(2)若圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等于.?

故圆锥的表面积S圆锥=π×1×(1+2)=3π.(2)S圆台=π(32+42+3×6+4×6)=67π.答案:(1)3π(2)67π

二、圆柱、圆锥、圆台的体积1.试回想圆柱和圆锥的体积公式.2.根据上一节棱台的体积公式,试推导圆台的体积公式.

4.(1)已知圆柱的高为2,若它的轴截面为正方形,则该圆柱的体积为()(2)若圆锥的底面圆半径为1,母线长为2,则该圆锥的体积为.?

解析:(1)设圆柱的底面半径为r,高为h.由题意知2r=2,得r=1.故V圆柱=πr2h=π×12×2=2π.

三、球的表面积与体积1.古人在计算圆周率时,一般是用割圆术,即用圆的内接或外切正多边形的周长来逼近圆的周长.理论上,只要取得圆内接正多边形的边数越多,圆周率就越精确,直到无穷.这种思想就是朴素的极限思想.运用上述思想能否计算球的表面积与体积?提示:可以,运用分割、求近似值、再由近似值转化的数学思想方法.

2.(1)设球的半径为R,则球的表面积S=4πR2.(2)设球的半径为R,则球的体积V=________.

3.(1)如果两个球的半径之比为1∶3,那么两个球的表面积之比为()A.1∶9 B.1∶27C.1∶3 D.1∶1(2)已知球的体积为,则它的表面积为.?∴r3=27,r=3,∴S球=4π×32=36π.答案:(1)A(2)36π

合作探究·释疑解惑探究一探究二

探究一圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积【例1】已知△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体的表面积和体积.解:如图,在△ABC中,过点C作CD⊥AB,垂足为点D.由AC=3,BC=4,AB=5,知AC2+BC2=AB2,则AC⊥BC.由BC·AC=AB·CD,

对于与旋转体有关的组合体问题,要根据条件分清各个简单几何体的底面半径、母线长及高,再分别代入表面积或体积公式求解.

【变式训练1】已知圆台的高为3,在轴截面中,母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°,轴截面中的一条对角线垂直于腰,求圆台的体积.解:如图所示,作轴截面A1ABB1,设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r,R,l,高为h.作A1D⊥AB于点D,则A1D=3.

探究二球的表面积与体积【例2】若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径相等,求圆锥侧面积与球面面积之比.

有关球的体积与表面积的问题(1)求球的体积或表面积时,必须知道半径R或者通过条件能求出半径R,然后代入体积或表面积公式求解.(2)半径和球心是球的最关键要素,把握住了这两点,计算球的表面积或体积的相关题目也就容易了.(3)球的体积比等于半径比的立方,表面积比等于半径比的平方.

【变式训练2】64个直径都为的球,记它们的体积之和为V甲,表面积之和为S甲;一个直径为a的球,记其体积为V乙,表面积为S乙,则()A.V甲V乙,且S甲S乙 B.V甲V乙,且S甲S乙C.V甲=V乙,且S甲S乙 D.V甲=V乙,且S甲=S乙答案:C

探究三与球有关的切接问题【例3】若一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍,则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为()A.4∶3 B.3∶1 C.3∶2 D.9∶4解析:设球的半径为r.如图,作轴截面,则PO=2OD,∠CPB=30°,圆锥侧面积S1=π·CB·PB=6πr2,球的表面积S2=4πr2,即S1∶S2=3∶2.答案:C

球的内切问题处理的注意事项:解决与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体或旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.若球内切于多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.球的外接问题处理的注意事项:把一