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湖南省衡阳2023-2024高三上学期第二次月考
数学试题
注意事项:本试卷满分为150分,时量为120分钟
一?单选题(本大题共8小题,每题5分,共40分)
1.若集合,则()
A. B.
C. D.或
【答案】A
【分析】解集合B中的不等式,得到集合B,再求两个集合的交集.
【详解】不等式解得,则,
又,所以,
故选:A.
2.在复平面内,复数对应的点的坐标为()
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】先进行复数的除法运算,进而可得对应点的坐标.
【详解】,所以对应点的坐标为.
故选:A
3.定义在上的偶函数满足:对任意的,,有,则().
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】由对任意x1,x2[0,+∞)(x1≠x2),有0,得f(x)在[0,+∞)上单独递减,所以,选A.
点睛:利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小,首先根据函数的性质构造某个函数,然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值,最后根据单调性比较大小,要注意转化在定义域内进行
4.已知等差数列的公差为d,前n项和为,则“”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用等差数列的前项公式,分别从充分性和必要性两个方面进行判断即可求解.
【详解】因为数列是公差为的等差数列,所以,
,
所以,
若等差数列的公差,则,所以,故充分性成立;
若,则,所以,故必要性成立,
所以“”是“”充分必要条件,
故选:C.
5.某校高三有1000人参加考试,统计发现数学成绩近似服从正态分布N(105,σ2),且成绩优良(不低于120分)的人数为360,则此次考试数学成绩及格(不低于90分)的人数约为()
A.360 B.640 C.720 D.780
【答案】B
【分析】利用正态分布的性质可解.
【详解】因为,所以,所以此次考试数学成绩及格(不低于90分)的人数约为.
故选:B
6.椭圆的左、右焦点分别为,,为上顶点,若的面积为,则的周长为()
A.8 B.7 C.6 D.5
【答案】C
【分析】设椭圆的半焦距为,由条件利用表示的面积,由条件列方程求,再由关系求,根据椭圆定义求,由此可求的周长.
【详解】设椭圆的半短轴长为,半焦距为,
则,的面积
由题知,
所以,,
由椭圆的定义知,又,
所以的周长为.
故选:C.
7.设函数(其中为自然对数的底数),若存在实数a使得恒成立,则实数m的取值范围是()
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】由题意可得,令,函数和函数的图象,一个在直线上方,一个在直线下方,等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值,即可得出答案.
【详解】函数的定义域为,
由,得,所以,
令,
由题意知,函数和函数的图象,一个在直线上方,一个在直下方,等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值,
由,得,
所以当时,单调递增,
当时,单调递减,
所以,没有最小值,
由,得,
当时,在上单调递增,
在上单调递减,
所以有最大值,无最小值,不合题意,
当时,在上单调递减,
在上单调递增,
所以,
所以即,
所以,即m的取值范围为.
故选:A.
8.如图,在三棱锥中,,二面角的正切值是,则三棱锥外接球的表面积是()
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】利用二面角的正切值求得,由此判断出,且两两垂直,由此将三棱锥补形成正方体,利用正方体的外接球半径,求得外接球的表面积.
【详解】设是的中点,连接,由于,
所以,所以是二面角的平面角,所以,
由得.
在中,,
在中,,
在中,由余弦定理得:,
所以,
由于,所以两两垂直.
由此将三棱锥补形成正方体如下图所示,正方体的边长为2,则体对角线长为.
设正方体外接球的半径为,则,所以外接球的表面积为,
故选:A.
二?多选题(本大题共4小题,每题5分,共20分)
9.已知向量,则下列结论正确的是().
A. B.
C.向量的夹角为 D.在方向上的投影向量是
【答案】AC
【分析】对于A,根据向量的加法和数量积的坐标表示,可得答案;
对于B,根据向量的数乘以及加法坐标公式,结合模长的坐标公式,可得答案;
对于C,根据向量夹角公式,可得答案;
对于D,根据投影的定义,结合向量数乘的几何意义,可得答案.
【详解】对于A,,由,则,故A正确;
对于B,,,故B错误;
对于C,,,,则,即向量的夹角为,故C正确;
对于D,在方向上的投影向量是,故D错误.
故选:AC.
10.设等比数列的前项和为,前项积为,若满足,,,则下列选项正确的是()
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