线性代数课件.pptx

第一节n阶行列式的定义;一、二阶行列式;;二、三阶行列式;例1;例2证明;中，6项的行下标全为123，而列下标分别为;三、全排列及其逆序数;定义在一个排列中，若数

则称这两个数组成此排列的一个逆序。;定义一个排列j1j2···jn中所有逆序的总数称为此排

列的逆序数。记为?（j1j2···jn）;分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码

个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，

这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆

序数.;32514;例2计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.;解;逆序数的性质;逆序数为奇数的排列称为奇排列;;定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．;当时，;;推论;四、n阶行列式的定义;（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列

的三个元素的下标排列．;定义;;其中?为行标排列的逆序数.;记;其中是两个级排列，?为行

标排列逆序数与列标排列逆序数的和.;说明;例1计算对角行列式;即行列式中不为零的项为;分析;例3;同理可得下三角行列式;例4证明对角行列式;证明;例5;;由于;第二节行列式的性质;一、行列式的性质;证明;故;于是;例如;性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.;性质４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．;性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.;性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．;例１;;;;;;例2计算阶行列式;;例3;证明;;;解;;第三节行列式按行（列）展开;例如;在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作;;引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．;证;得;得;;中的余子式;故得;定理３行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即;;例1;;证;;n-1阶范德蒙德行列式;推论行???式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即;;关于代数余子式的重要性质;例３计算行列式;例４计算行列式;;第四节克莱姆法则;用消元法解二元线性方程组;方程组的解为;设线性方程组;一、克拉默法则;其中是把系数行列式中第列的元素用方程

组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即;证明;由代数余子式的性质可知,;由于方程组与方程组等价,;二、重要定理;齐次线性方程组的相关定理;定理4如果齐次线性方程组

;例1用克拉默则解方程组;;;例2用克拉默法则解方程组;;例3问取何值时，齐次方程组;解;一、线性方程组解的存在条件;那么，A称为方程组（1）的系数矩阵，B称为方程组的增广矩阵。;若记;显然以下四种提法是等价的：

方程组（1）有解；

b能由线性表示；

向量组;定理线性方程组（1）有解的充要条件是它的系数矩阵A的秩等于增广矩阵B的秩，即

R（A）=R（B）。;二、齐次线性方程组的有非零解的条件;方程组（2）可写成向量形式

;定理齐次线性方程组（2）有非零解的充要条件

是它的系数矩阵A的秩R（A）n,其中n为（2）的未知

量的个数。

;１．解向量的概念;则上述方程组（1）可写成向量方程;称为方程组(1)的解向量，它也就是向量方程

(2)的解．;２．齐次线性方程组解的性质;（2）若为的解，为实数，则

也是的解．;１．基础解系的定义;;２．基础解系的求法;;现对取下列组数：;依次得;下面证明是齐次线性方程组解空

间的一个基．;由于是的解故也是的

解