人教A版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 1.4.1 第2课时 用空间向量研究直线、平面的垂直关系.ppt

第一章1.4.1第2课时用空间向量研究直线、平面的垂直关系

内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑

自主预习新知导学

空间中直线、平面的垂直1.空间中直线、平面的垂直

2.(1)若直线l的方向向量a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则()A.l∥α B.l⊥αC.l?α D.l与α斜交(2)若平面α,β的法向量分别为m=(-1,2,4),n=(x,-1,-2),且α⊥β,则x的值为()

解析:(1)∵n=(-2,0,-4)=-2(1,0,2)=-2a,∴n∥a.∴l⊥α.(2)∵α⊥β,∴它们的法向量互相垂直.∴m·n=0,即(-1,2,4)·(x,-1,-2)=0,解得x=-10.故选B.答案:(1)B(2)B

合作探究释疑解惑

探究一利用向量证明线线垂直【例1】如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN=CC1.求证:AB1⊥MN.

则{a,b,c}构成空间的一个基底.由已知条件和正三棱柱的性质,得|a|=|b|=|c|=1,a·c=b·c=0.

证法二:设线段AB的中点为O,连接OC,作OO1∥AA1,交A1B1于点O1.由题意知,可以以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.

反思感悟利用空间向量证明两条直线垂直的常用方法及步骤:(1)基向量法①选取三个不共线的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底;②把两条直线的方向向量用基底表示;③利用向量的数量积运算,计算出两直线的方向向量的数量积为0;④由方向向量垂直得到两条直线垂直.

(2)坐标法①根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐标;②根据所求出点的坐标求出两条直线方向向量的坐标;③计算两条直线方向向量的数量积为0;④由方向向量垂直得到两直线垂直.

【变式训练1】如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是矩形,AB=2,AD=1,AA1=3,M是BC的中点.在DD1上是否存在一点N,使MN⊥DC1?并说明理由.

解:存在点N∈DD1,使得MN⊥DC1,理由如下:以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),C1(0,2,3),M.假设在DD1上存在一点N,使MN⊥DC1.设N(0,0,h),0≤h≤3,

探究二利用向量证明线面垂直【例2】如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为棱CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.

证明:如图,取BC的中点O,连接AO.因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.又因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO?平面ABC,所以AO⊥平面BCC1B1.

即AB1⊥BA1,AB1⊥BD.又因为BA1∩BD=B,所以AB1⊥平面A1BD.

(方法二)设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),

本例中增加条件:E,F分别是BC,BB1的中点,求证:EF⊥平面ADE.证明:建立如图所示的空间直角坐标系Exyz,所以EF⊥EA,EF⊥ED.又因为EA∩ED=E,所以EF⊥平面ADE.

反思感悟1.坐标法证明线面垂直的两种思路思路一:(1)建立空间直角坐标系;(2)将直线的方向向量用坐标表示;(3)找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量;(4)分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0.思路二:(1)建立空间直角坐标系;(2)将直线的方向向量用坐标表示;(3)求出平面的法向量;(4)证明直线的方向向量与平面的法向量平行.2.使用坐标法证明时,如果平面的法向量很明显,可以用思路二,否则常常选用思路一解决.

【变式训练2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是B1B,DC的中点,求证:AE⊥平面A1D1F.

证明:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1,

取z=1,则y=2.所以,n=(0,2,1)是平面A1D1F的一个法向量.

探究三利用向量证明面面垂直【例3】三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为三角形A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC.A1A=,AB=AC=2A1C1=2,D为BC中点.证明:平面A1AD⊥平面BCC1B1.

证明:建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,所以BC⊥AD,BC⊥AA1.又AD∩AA1=A,所以BC⊥平面ADA1.因为BC?平面BCC1B1,所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.

因为n1·n2=1-1+0=0,所以