3.1.2.第1课时　单调性的定义与证明.pptxVIP

第1课时单调性的定义与证明;【课程标准】

借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．;;01.新知初探?自主学习;教材要点

知识点一定义域为A的函数f(x)的单调性;状元随笔定义中的x1，x2有以下3个特征

(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；

(2)有大小，通常规定x1＜x2；

(3)属于同一个单调区间．;知识点二单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间M上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)________，区间M叫做y＝f(x)的________．;?;?;状元随笔最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝－x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0.;?;?;3．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)＞f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．;?;02.课堂探究?素养提升;?;状元随笔

观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间． ;

【解析】在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象从左到右是上升的，则该区间为增区间；若从左到右是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1，4)．;?;(3)函数y＝|x－1|的单调递增区间是________.;跟踪训练1(1)已知函数f(x)的图象如图所示：

①根据函数图象，写出f(x)的单调区间；

②若f(x)在[a－1，a＋1]上单调递增，求a的取值范围．

状元随笔由图象上升或下降趋势判断．

;(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．;?;?;?;?;方法归纳

利用定义证明函数单调性的步骤

注：作差变形是解题关键．;?;?;?;?;方法归纳

利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在比较函数值的大小时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．;?;?;?;?;(2)求该函数的最大值和最小值．;方法归纳

1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤

(1)判断函数的单调性．

(2)利用单调性求出最大(小)值．;2．函数的最大(小)值与单调性的关系

(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．

(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．;?;?;状元随笔

(1)判断函数的单调性．

(2)利用单调性求出最大(小)值．;题型5由函数的单调性求参数的取值范围 [经典例题]

例5.(1)已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3.

①若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________；

②若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a＝________．;【解析】(1)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3

＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.

因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1].

①由f(x)在(－∞，3]上是增函数知3≤－a－1，即a≤－4.

②由题意得－a－1＝3，a＝－4.;(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．;方法归纳

“函数的单调区间为I”与“函数在

区间I上单调”的区别

单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．;跟踪训练5(1)已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2，在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围；函数的单调递减区间为(－∞，4]，则a为何值？

状元随笔

首先求出f(x)的单调减区间，(1)求出f(x)的对称轴为x＝1－a，利用对称轴应在直线x＝4的右侧或与其重合求解．(2)求出函数的减区间，用端点值相等求出a.

;解析：(1)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，

∴f(x)的减区间是(－∞，1－a].

∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，

∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．

∴1－a≥4，解得a≤－3.

故a的取值范围为(－∞，－3].

∵函数f(x)的单调递减区间为(－∞，4]，

∴1－a＝4，a＝－3.;(2)若f(x)在R上是单调递减的，且f(x－2)f(3)