第02讲 两条直线的位置关系（八大题型）（讲义）（原卷版）--2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）.docx

第02讲两条直线的位置关系

目录TOC\o1-2\h\z\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03考点突破·题型探究 4

知识点1：直线平行与垂直的判定 4

知识点2：三种距离 4

解题方法总结 5

题型一：两直线位置关系的判定 6

题型二：两直线的交点与距离问题 8

题型三：有关距离的最值问题 9

题型四：点关于点对称 11

题型五：点关于线对称 11

题型六：线关于点对称 12

题型七：线关于线对称 13

题型八：直线系方程 13

04真题练习·命题洞见 14

05课本典例·高考素材 15

06易错分析·答题模板 17

易错点：两平行直线间的距离公式应用错误 17

答题模板：已知两直线平行或垂直求参数 17

考点要求

考题统计

考情分析

（1）两条直线的平行与垂直

（2）两直线的交点与距离问题

2022年上海卷第7题，5分

2020年III卷第8题，5分

2020年上海卷第7题，5分

高考对两条直线的位置关系的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握两条直线的位置关系、距离公式、对称问题等，特别要重视两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式这两个考点．

复习目标：

（1）能根据斜率判定两条直线平行或垂直．

（2）能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．

（3）掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．

知识点1：直线平行与垂直的判定

两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．

两直线方程

平行

垂直

（斜率存在）

（斜率不存在）

或

或中有一个为0，另一个不存在．

【诊断自测】（多选题）已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（????）

A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为

C．若，则 D．若，则直线，一定相交

知识点2：三种距离

1、两点间的距离

平面上两点的距离公式为．

特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离

2、点到直线的距离

点到直线的距离

特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离

3、两条平行线间的距离

已知是两条平行线，求间距离的方法：

（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．

（2）设，则与之间的距离

注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．

4、双根式

双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解．

【诊断自测】（多选题）已知点到直线的距离为3，则实数等于（????）

A．0 B． C．3 D．2

解题方法总结

1、点关于点对称

点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有

可得对称点的坐标为

2、点关于直线对称

点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．

3、直线关于点对称

法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；

法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．

4、直线关于直线对称

求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线

第一步：联立算出交点

第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点

第三步：利用两点式写出方程

5、常见的一些特殊的对称

点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为．

点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．

点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．

点关于点的对称点为．

点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．

6、过定点直线系

过已知点的直线系方程（为参数）．

7、斜率为定值直线系

斜率为的直线系方程（是参数）．

8、平行直线系

与已知直线平行的直线系方程（为参数）．

9、垂直直线系

与已知直线垂直的直线系方程（为参数）．

10、过两直线交点的直线系

过直线与的交点的直线系方程：（为参数）．

题型一：两直线位置关系的判定

【典例1-1】（湖北省“宜荆荆恩”2024届高三9月起点考试数学试题）已知两条直线，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【典例1-2】已知，，直线和垂直，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【方法技巧】

【解题方法总结】

判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设（不全为0），（不全为0），则：

当时，直线相交；

当时，直线平行或重合，代回检验；

当时，直线垂直，与向量的平行与垂直类