微积分全套课件.pptx

2024/9/91微积分

2024/9/92第一讲函数一、予备知识二、函数概念三、函数的初等性质四、复合函数与反函数五、初等函数

2024/9/93一、予备知识1.常用的数的集合

2024/9/942.邻域

2024/9/95

2024/9/96二、函数概念定义：存在唯一

2024/9/97函数的两个要素：2.定义域D1.对应规则f

2024/9/98三、函数的初等性质1.函数的奇偶性2.函数的增减性

2024/9/993.函数的周期性[注意]并不是所有的函数都有最小周期例如：考察狄里克雷函数

2024/9/9104.函数的有界性定义：

2024/9/911[例]

2024/9/912[问题]如何定义无界函数？[例]

2024/9/9135.函数的凸性何谓凸函数？

2024/9/914

2024/9/915则

2024/9/916弦线AB的方程为

2024/9/917（一）凸性定义：

2024/9/918四、复合函数与反函数定义：1.复合函数

2024/9/919例则有则有

2024/9/920则有所以,不能构成复合函数因为

2024/9/9212.反函数在函数定义中，要求函数是单值的，即

2024/9/922

2024/9/923[例2][例3]习惯上,记

2024/9/924五、初等函数基本初等函数（2）幂函数（5）三角函数（3）指数函数（6）反三角函数（4）对数函数（1）常量函数e是无理数都是周期函数

2024/9/925初等函数基本初等函数经过有限次的四则运算及复合运算所得到的函数,称为初等函数.双曲函数双曲正弦双曲余弦双曲正切

2024/9/926反双曲正弦反双曲余弦反双曲正切

2024/9/927非初等函数的例子（1）符号函数[注意]

2024/9/928（2）取整函数[例如][注意]

2024/9/929函数表示的其他分类：（1）显函数（2）隐函数（3）参数式函数

2024/9/930?

2024/9/931内旋轮线

2024/9/932第二讲函数极限一、函数极限二、函数极限的性质三、函数极限的运算法则四、两个重要极限五、无穷小量与无穷大量

2024/9/933极限的重要性（1）极限是一种思想方法（2）极限是一种概念（3）极限是一种计算方法?从认识有限到把握无限?从了解离散到理解连续?微积分中许多概念是用极限定义的?许多物理、几何量需要用极限来求

2024/9/934函数极限问题是研究当自变量一、函数的极限趋向于的变化趋势或趋向于无穷大时，函数（两种基本变化趋势）?趋向于一点(一)自变量的变化?趋向于无穷

2024/9/935定义1：（二）函数极限的定义1.函数在一点的极限

2024/9/936[注意]考虑空心邻域，是什麽意思？考虑函数在一点的极限时，不考虑函数在该点处是否有定义，定义的值是什麽，但是，在附近必须要有定义。[例1]

2024/9/937[例2]

2024/9/938定义2：（左、右极限）

2024/9/939一点极限与单侧极限有什麽关系？[例]观察图形问题：

2024/9/9402.函数在无穷远的极限定义3：类似的可定义或

2024/9/941例如

2024/9/942定义4：3.函数极限的精确定义

2024/9/943二、函数极限的性质性质2:（有界性）函数极限如果存在，则函数一定有界.性质1:（唯一性）函数极限如果存在，则一定是唯一的.

2024/9/944性质3:（保号性）性质4

2024/9/945（一）四则运算定理注：表示的任一种趋向.三、极限的运算法则

2024/9/946（二）复合函数的极限定理[注意]例如：

2024/9/947（三）夹逼定理:（四）初等函数的极限

2024/9/948四、两个重要极限1.2.

2024/9/949利用夹逼定理考虑不等式即[证明]亦即

2024/9/950将（1）式与（2）式结合起来，得到有

2024/9/951即

2024/9/952定义1：在某个变化过程中,极限为零的函数,称为在此变化过程中的无穷小量（无穷小）。五、无穷小量与无穷大量（一）定义例如：[注意]：无穷小量是极限为零的函数！无穷小量不是绝对值很小的数！

2024/9/953定义2：在某个变化过程中,绝对值无限变大的函数,称为在此变化过程中的无穷大量（无穷大）。

2024/9/954[例]

2024/9/955（二）无穷小与无穷大的性质性质1：注意：性质1只可以推广到有限个函数[例]

2024/9/956性质3：性质2：

2024/9/957[例][例]

2024/9/9581.（无穷小与无穷大）2.（极限与无穷小）（三