高考数学科学复习创新方案提升版第23讲同角三角函数的基本关系与诱导公式.docxVIP

第23讲同角三角函数的基本关系与诱导公式

[课程标准]1.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,2)，α±π的正弦、余弦、正切)).2.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanα.

1．同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：eq\x(\s\up1(01))sin2α＋cos2α＝1．

(2)商数关系：eq\x(\s\up1(02))eq\f(sinα,cosα)＝tanα．

2．六组诱导公式

公式

一

二

三

四

五

六

角

2kπ＋α(k∈Z)

π＋α

－α

π－α

eq\f(π,2)－α

eq\f(π,2)＋α

正弦

sinα

－sinα

－sinα

sinα

cosα

cosα

余弦

cosα

－cosα

cosα

－cosα

sinα

－sinα

正切

tanα

tanα

－tanα

－tanα

－

－

口诀

函数名不变，符号看象限

函数名改变，符号看象限

同角三角函数基本关系式的常用变形

(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；

(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2；

(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα；

sinα＝tanαcosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))；

sin2α＝eq\f(sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α,tan2α＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))；

cos2α＝eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1,tan2α＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).

1．(人教B必修第三册7.2.3练习AT1(2)改编)若cosα＝eq\f(1,3)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，则tanα＝()

A．－eq\f(\r(2),4) B.eq\f(\r(2),4)

C．－2eq\r(2) D．2eq\r(2)

答案C

解析由已知得sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\f(1,9))＝－eq\f(2\r(2),3)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－2eq\r(2).故选C.

2．已知cos31°＝a，则sin239°tan149°的值为()

A.eq\f(1－a2,a) B.eq\r(1－a2)

C.eq\f(a2－1,a) D．－eq\r(1－a2)

答案B

解析sin239°tan149°＝sin(270°－31°)tan(180°－31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝eq\r(1－a2).

3．(人教B必修第三册第七章复习题A组T6改编)已知tanθ＝2，则eq\f(3sinα＋2cosα,4sinα－3cosα)＝________．

答案eq\f(8,5)

解析∵tanθ＝2，∴原式＝eq\f(3tanα＋2,4tanα－3)＝eq\f(3×2＋2,4×2－3)＝eq\f(8,5).

4．(人教A必修第一册习题5.2T12改编)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanα＝2，则cosα＝________．

答案eq\f(\r(5),5)

解析∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴sinα＞0，cosα＞0，∵tanα＝2＝eq\f(sinα,cosα)，sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝eq\f(\r(5),5).

5．(人教A必修第一册5.3例4改编)化简eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α)))·sin(α－π)cos(2π－α)的结果为________．

答案－sin2α

解析原式＝eq\f(sinα,cosα)(－sinα)cosα＝－sin2α.

多角度探究突破

考向一同角三角函数的基本关系

角度常规问题

例1(1)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sinα，3)(sinα≠0)，则cosα＝()

A.eq\f(1,2) B．