人教A版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第五章 一元函数的导数及其应用 5.2.3 简单复合函数的导数.pptVIP

第五章5.2.3简单复合函数的导数

课程标准1.了解复合函数的概念.2.理解复合函数的求导法则,并能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数.

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知识点简单复合函数的导数1.复合函数的概念一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作.?2.复合函数的求导法则一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx=yu·ux,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.求导遵循原则:由外及里,层层求导xy=f(g(x))

名师点睛求复合函数的导数需注意以下几点:(1)中间变量的选择应是基本函数结构;(2)关键是正确分析函数的复合层次;(3)要善于把一部分表达式作为一个整体;(4)最后要把中间变量换成关于自变量的函数.

过关自诊1.函数y=(2022-8x)3的导数y等于()A.3(2022-8x)2 B.-24xC.-24(2022-8x)2 D.24(2022-8x)2C解析y=3(2022-8x)2×(2022-8x)=3(2022-8x)2×(-8)=-24(2022-8x)2.

2.函数y=log2(x+1)是复合函数吗?是由哪些函数复合而成的?提示是,函数y=log2(x+1)是由y=log2u及u=x+1这两个函数复合而成的.

3.[北师大版教材习题]写出下列函数的中间变量,并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数:

(2)y=sin(-x+1);(3)y=e-2x+1;解函数的中间变量为u=-x+1,则函数y=sin(-x+1)是由函数y=sinu与u=-x+1复合而成的.由复合函数的求导法则,可得y=cosu×(-1)=-cos(-x+1).解函数的中间变量为u=-2x+1,则函数y=e-2x+1是由函数y=eu与u=-2x+1复合而成的.由复合函数的求导法则,可得y=eu×(-2)=-2e-2x+1.

(4)y=cos(x+3).解函数的中间变量为u=x+3,则函数y=cos(x+3)是由函数y=cosu与u=x+3复合而成的.由复合函数的求导法则,可得y=-sinu×1=-sin(x+3).

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探究点一求复合函数的导数【例1】[人教B版教材例题]求下列函数的导数.(1)h(x)=e5x-1;分析先分析每个复合函数的构成,再按照复合函数的求导法则进行求导.(2)f(x)=ln(2x+1);解h(x)=e5x-1可以看成f(u)=eu与u=g(x)=5x-1的复合函数,因此h(x)=f(u)g(x)=(eu)·(5x-1)=eu×5=5e5x-1.解f(x)=ln(2x+1)可以看成h(u)=lnu与u=g(x)=2x+1的复合函数,因此

规律方法复合函数求导的步骤

变式训练1求下列函数的导数:(1)y=103x-2;(2)y=ln(ex+x2);解令u=3x-2,则y=10u,所以yx=yu·ux=10uln10·(3x-2)=3×103x-2ln10.

探究点二复合函数求导与导数的运算法则的综合应用【例2】求下列函数的导数:

规律方法此类问题出错的主要因素一般有两个:一是基本初等函数的导数公式记忆有误;二是求导法则掌握不到位,尤其是对于积与商的求导法则中的符号问题出现混淆,导致运算结果出现错误.对于复杂函数求导,一般遵循先化简再求导的原则,但要注意化简过程中变换的等价性.

变式训练2求下列函数的导数:(1)y=sin2x+cos2x;解y=(sin2x)+(cos2x)=2cos2x-2sin2x.

探究点三与复合函数有关的切线问题

规律方法解此类问题的关键点:(1)求复合函数的导数,这是正确解答的前提条件,要注意把复合函数逐层分解,求导时不要有遗漏.(2)求切线方程,注意切线所过的点是否为切点.

变式训练3[北师大版教材习题]求曲线y=ln(3x-2)在x=1处的切线的方程.又当x=1时,y=0,所以切线方程为y-0=3(x-1),即3x-y-3=0.

本节要点归纳1.知识清单:(1)复合函数的概念.(2)复合函数的求导法则.(3)复合函数的导数的应用.2.方法归纳:公式法、转化法.3.常见误区:(1)求复合函数的导数时不能正确分解函数;(2)求导时不能分清是对哪个变量求导;(3)计算结果复杂化.

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