备考2025年高考数学一轮复习题组层级快练76.docxVIP

题组层级快练(七十六)

一、单项选择题

1．(2024·北京东城区期末)已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X≤4)＝0.8，则P(2≤X≤4)＝()

A．0.8 B．0.6

C．0.4 D．0.2

答案B

解析由题可知，P(X4)＝1－P(X≤4)＝1－0.8＝0.2，由于X～N(3，σ2)，所以P(X2)＝P(X4)＝0.2，因此P(2≤X≤4)＝1－P(X2)－P(X4)＝1－0.2－0.2＝0.6.故选B.

2．已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(X≥3)＝P(X≤1)，若P(0X4)＝0.7，则P(X0)＝()

A．0.35 B．0.25

C．0.15 D．0.05

答案C

解析由P(X≥3)＝P(X≤1)可知，正态曲线的对称轴为直线μ＝eq\f(1,2)×(1＋3)＝2，故P(0X2)＝eq\f(1,2)P(0X4)＝0.35，由正态曲线的对称性可得P(X2)＝0.5，所以P(X0)＝P(X2)－P(0X2)＝0.5－0.35＝0.15.故选C.

3．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ≥2)＝a，P(0ξ≤1)＝1－3a，则P(ξ≤0)＝()

A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)

C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,4)

答案A

解析因为随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，由正态曲线的对称性知，P(0ξ≤1)＝P(1≤ξ2)，又P(ξ≥1)＝eq\f(1,2)，P(ξ≥1)＝P(1≤ξ2)＋P(ξ≥2)，所以a＋1－3a＝eq\f(1,2)，解得a＝eq\f(1,4)，从而P(ξ≤0)＝P(ξ≥2)＝eq\f(1,4).故选A.

4．(2024·张家口市模拟)某冰上项目组织计划招收一批9～14岁的青少年参加集训，以选拔运动员，共有10000名青少年报名参加测试，其测试成绩X(满分100分)服从正态分布N(60，σ2)，成绩为90分及以上者可以进入集训队，已知成绩为80分及以上的人数为225，请你通过以上信息，推断进入集训队的人数为()

附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.955，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997.

A．15 B．18

C．26 D．30

答案A

解析由X～N(60，σ2)，可知μ＝60，由80分及以上的人数为225，则P(X≥80)＝eq\f(225,10000)＝0.0225，由正态曲线的对称性可得P(40X80)＝1－2P(X≥80)＝0.955≈P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，故σ＝10，∴P(30≤X≤90)≈0.997，∴P(X≥90)≈eq\f(1－0.997,2)＝0.0015，则90分及以上的人数为10000×0.0015＝15.故选A.

5．有5条同样的生产线，生产的零件尺寸(单位：mm)都服从正态分布N(20，σ2)，且P(19X≤21)＝eq\f(2,3).在每条生产线上各取一个零件，恰好有3个尺寸在区间(20，21]的概率为()

A.eq\f(64,243) B.eq\f(80,243)

C.eq\f(16,81) D.eq\f(40,243)

答案D

解析由题知正态曲线的对称轴为直线x＝20，又因为P(19X≤21)＝eq\f(2,3)，故P(20X≤21)＝eq\f(1,3).故在每条生产线上各取一个零件，恰好有3个尺寸在区间(20，21]的概率为P＝C53eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(40,243).故选D.

6．(2024·浙江金华市模拟)高铁是当代中国重要的一类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，已知某市市郊乘车前往高铁站有①②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间Z(单位：分钟)服从正态分布N(50，100)；路线②走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所需时间W(单位：分钟)服从正态分布N(60，16)，若住同一地方的甲、乙两人分别有70分钟与64分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲、乙选择的路线分别是()

A．①② B．②①

C．①① D．②②

附：若Y～N(μ，σ2)，当μ＝0，σ＝1时的正态分布称为标准正态分布．如果令X＝eq\f(Y－μ,σ)，则可以证明X～N(0，1)，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布，如果X～N(0，1