人教A版高中同步学案数学选择性必修第三册精品课件 第7章 随机变量及其分布 7.3.2 离散型随机变量的方差 (3).pptVIP

第七章7.3.2离散型随机变量的方差

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学习目标1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.(逻辑推理)2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题.(数学运算)3.掌握方差的性质.(逻辑推理)

基础落实·必备知识全过关

知识点1离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列如下表所示.Xx1x2…xnPp1p2…pn虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2,(x2-E(X))2,…,(xn-E(X))2.因为X取每个值的概率不尽相同,所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均,来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度,我们称D(X)==为随机变量X的方差,有时也记为Var(X),并称为随机变量X的标准差,记为σ(X).?该值一定为非负(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn

名师点睛随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.

微思考随机变量的方差与样本的方差有何不同?提示样本的方差是随着样本的不同而变化的,因此它是一个随机变量,而随机变量的方差是通过大量试验得出的,刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,因此它是一个常量而非变量.

知识点2离散型随机变量的方差的性质1.一般地,可以证明下面的结论成立:D(aX+b)=a2D(X).?b值不影响方差值2.一般地,随机变量X服从两点分布,那么D(X)=(1-p)2·p+p2(1-p)=p(1-p).微思考若甲、乙两名运动员的平时训练成绩显示,两人平均成绩相同,但甲运动员方差比乙运动员方差小,则若选1人去参加比赛,你会如何选择?试说明理由.提示无标准答案,只要言之有理即可.选甲去,因为甲运动员成绩更稳定;选乙去,因为乙运动员的方差大,即数据差异更大,相对更有机会拿高分,赢得比赛.

重难探究·能力素养全提升

问题1随机变量的均值是一个重要的数字特征,反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”,如何反映随机变量取值波动幅度的大小?

探究点一求离散型随机变量的方差问题2类比一组数据的方差,如何计算离散型随机变量的方差?类比均值的性质,方差有何性质?【例1】袋中有除颜色外其他都相同的6个小球,其中红球2个、黄球4个,规定取1个红球得2分,1个黄球得1分.从袋中任取3个小球,记所取3个小球的分数之和为X,求随机变量X的分布列、均值和方差.

规律方法1.求离散型随机变量X的方差的基本步骤:理解X的意义,写出X可能取的全部值↓求出X取每个值时的概率↓列出X的分布列↓由均值的定义求出E(X)↓利用公式D(X)=(xi-E(X))2pi求出D(X)

2.已知随机变量Y=aX+b,求D(Y)时,注意D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)的应用,这样既可以避免求随机变量Y的分布列,又能避免复杂的计算,可简化计算过程.

探究点二离散型随机变量的方差的应用问题3如何利用离散型随机变量的方差来解决实际问题?【例2】甲、乙两个建材厂都想投标参加某重点项目建设,为了对重点项目建设负责,政府到两建材厂抽样检查,从它们中各取等量的样品检查得到它们的抗拉强度指数如下.X110120125130135P0.10.20.40.10.2Y100115125130145P0.10.20.40.10.2其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性较好.

解E(X)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,E(Y)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125,D(X)=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(135-125)2=50,D(Y)=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(145-125)2=165.由于E(X)=E(Y),而D(X)D(Y),故甲厂的材料稳定性较好.

规律方法离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.因此在实际决