人教A版高中同步学案数学选择性必修第三册精品课件 第七章 7.3.2 离散型随机变量的方差.pptVIP

7.3.2离散型随机变量的方差第七章

课标要求1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质.

内容索引0102基础落实?必备知识全过关重难探究?能力素养全提升03学以致用?随堂检测全达标

基础落实?必备知识全过关

知识点1离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列如下表所示.Xx1x2…xnPp1p2…pn考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2,(x2-E(X))2,…,(xn-E(X))2.因为X取每个值的概率不尽相同,所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均,来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度,我们称D(X)==为随机变量X的方差,有时也记为Var(X),并称为随机变量X的标准差,记为σ(X).?该值一定为非负(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn

名师点睛随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)离散型随机变量的方差越大,随机变量越稳定.()(2)若a是常数,则D(a)=0.()(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度.()(4)标准差与随机变量本身有相同的单位,在实际问题中应用更广泛.()2.随机变量的方差与样本的方差有何不同?×√√√提示样本的方差是随着样本的不同而变化的,因此它是一个随机变量,而随机变量的方差是通过大量试验得出的,刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,因此它是一个常量而非变量.

知识点2离散型随机变量的方差的性质1.一般地,可以证明下面的结论成立:D(aX+b)=a2D(X).b值不影响方差值2.一般地,随机变量X服从两点分布,那么D(X)=(1-p)2·p+p2(1-p)=p(1-p).

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)当a,b均为常数时,随机变量η=aξ+b的方差D(η)=D(aξ+b)=aD(ξ).()(2)设随机变量X的方差D(X)=1,则D(2X+1)的值为4.()2.两点分布的方差是定值吗?×√提示不是定值,仅与两点分布中P(X=0)或P(X=1)的值相关.

重难探究?能力素养全提升

探究点一求离散型随机变量的方差【例1】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数,求X的方差.解由题意,X的可能取值为0,1,2,X的分布列为

规律方法1.求离散型随机变量X的方差的基本步骤:理解X的意义,写出X可能取的全部值↓求出X取每个值时的概率↓列出X的分布列↓由均值的定义求出E(X)↓利用公式D(X)=(xi-E(X))2pi求出D(X)2.已知随机变量η=aξ+b求D(η)时,注意D(η)=D(aξ+b)=a2D(ξ)的应用,这样既可以避免求随机变量η的分布列,又能避免复杂的计算,可简化计算过程.

变式训练1袋中有除颜色外其他都相同的6个小球,其中红球2个、黄球4个,规定取1个红球得2分,1个黄球得1分.从袋中任取3个小球,记所取3个小球的分数之和为X,求随机变量X的分布列、均值和方差.解由题意可知,X的所有可能取值为5,4,3,

故X的分布列为

探究点二离散型随机变量的方差的应用【例2】甲、乙两个建材厂都想投标参加某重点项目建设,为了对重点项目建设负责,政府到两建材厂抽样检查,从他们中各取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下.X110120125130135P0.10.20.40.10.2Y100115125130145P0.10.20.40.10.2其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下,比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性较好.

解E(X)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,E(Y)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125,D(X)=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(135-125)2=50,D(Y)=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130