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建立数学模型的方法、步骤、特点及分类

[学习目标]

1.能表述建立数学模型的方法、步骤；

2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非

预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；；

3.能表述数学建模的分类；

4.会采用灵活的表述方法建立数学模型；

5.培养建模的想象力和洞察力。

一、建立数学模型的方法和步骤

—般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，

一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，

找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.测试分折将

研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人

输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型

中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System

Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析

建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数．

可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度

和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部

特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体

数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌

握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法

为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以

下所谓建模方法只指机理分析。

建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的

目的等有关，从

§16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所

示．

图16-5建模步骤示意图

模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各

种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总

之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题

要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料.

模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，

用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不

经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设

会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，

于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都

考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一

是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的

综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，

又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要

因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写

出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．

模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适

当的数学工具，构造各个量(常量和变量)之间的等式(或不等式)关系或其他数学

结构．这里除需要一些相关学科的专门知识外，还常常需要较广阔的应用数学方

面的知识，以开拓思路.当然不能要求对数学学科门门精通,而是要知道这些学科

能解决哪一类问题以及大体上怎样解决．相似类比法，即根据不同对象的某些相

似性，借用已知领域的数学模型，也是构造模型的一种方法．建模时还应遵循的

一个原则是，尽量采用简单的数学工具，因为你建立的模型总是希望能有更多的

人了解和使用,而不是只供少数专家欣赏.

模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各

种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术．

模型分析对模型解答进行数学上的分析，有时要根据问题的性质分析变量

间的依赖关系或稳定状况，有时是根据所得结果给出数学上的预报，有时则可能

要给出数学上的最优决策或控制，不论哪种情况还常常需要进行误差分析、模型

对数据的稳定性或灵敏性分析等．

模型检验