高数上册一章集合与函数.pptx

第一章集合与函数集合1.1映射与函数1.2建立函数关系式1.3

1.1.1集合的概念所谓集合，按集合论的奠基者康托尔（Cantor）所述：“集合”为我们的感觉或思维中确定的个别对象的汇总。通俗地说，集合就是指具有某种属性的对象的全体，所确定的每一个对象称为集合的“元素”。集合（简称集）的例子很多.例如，自然数的全体构成一个集合；整数的全体构成一个集合；实数的全体也构成一个集合.通常我们把自然数的全体构成的集合记作N={0，1，2，3，…}，整数的全体构成的集合记作Z={0，±1，±2，…}，实数的全体构成的集合记作R.习惯上，我们用大写字母A，B，C…表示集合，而用小写字母a，b，c，…表示元素.

通常我们用列举法或性质描述法来表示一个集合.列举法表示一个集合的形式为A={a，b，c，…}.用性质描述法表示一个集合的形式为A={x|x具有的性质}.例如，上面的自然数集N={0，1，2，3，…}，整数集Z={0，±1，±2，…}等都是用列举法表示的集合；而对于X={xx0，x∈R}，A={xx3-1=0}等都是用性质描述法表示的集合.集合的表示方法便于我们表示一个具有某种性质的集合.例如，为了表示以正实数为元素的集合，我们可记为X={x|x0}.

为了表示介于a与b之间的所有实数为元素的集合，我们可记为Y={xaxb}.同样，为了表示以圆x^2+y^2=1上的点为元素的集合可表示为A={（x，y）x^2+y^2=1}.注集合的元素不仅可以是抽象的数，也可以是一些具体的实物.例如，将某班级看作一个集合，其元素可取为该班的学生；若将某公司看作一个集合，它所属的工厂就可作为元素.如果a是集合A的元素，则记作a∈A，读作a属于A；如果a不是A的元素，则记作aA，读作a不属于A.一个集合，若它只含有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集.不包含任何元素的集合，称为空集，记作.例如：若A={x|x0且x0}，则A是空集，于是记为A=.

【例1】用集合符号表示下列集合：（1）方程x^2-3x+2=0的根的集合；（2）小于10的全体正整数的集合；（3）直线x+y=1上的点的集合.解（1）A={1，2}；（2）A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}；（3）A={（x，y）x+y=1}.

1.1.2集合的运算1集合的并设集合A和B，由A和B的所有元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作A并B即A∪B={x|x∈A或x∈B}.显然有（1）A包含于（A∪B）（2）B包含于（A∪B）（3）A∪A=A（4）A∪U=U（5）A∪○=A.2集合的交设集合A和B，由A和B的所有公共元素构成的集合称为A与B的交集，记作A∩B，读作A交B即A∩B={x|x∈A且x∈B}.显然有（1（A∩B包含于A（2）（A∩B）包含于B（3）A∩U=A（4）A∩A=A（5）A∩=.

3集合的补设全集U中所有不属于A的元素构成的集合，称为A的补集，记作A，读作A的补集即A={xx∈U且xA}.4集合的差设集合A和B，由属于A，而不属于B的所有元素构成的集合称为A与B的差集，记为A-B，读作A与B的差集即A-B={xIx∈A且xB}.【例2】利用集合的运算表示下列集合，并求出集合的元素的个数.设某班有100名学生，有70名学生会讲汉语，以集合A表示这些学生；有75名学生会讲英语，以集合B表示这些学生；有50名学生两种语言都会讲，以集合C表示这些学生.求：

（1）只会讲汉语的学生的集合及人数；（2）只会讲英语的学生的集合及人数；（3）两种语言中至少会其中一种的学生的集合及人数；（4）两种语言都不会讲的学生的集合及人数.解（1）只会讲汉语的学生的集合A-C.人数为70-50=20（人）.（2）只会讲英语的学生的集合B-C,人数为75-50=25（人）.（3）两种语言中至少会其中一种的学生的集合A∪B,人数为20+25+50=95（人）.（4）两种语言都不会讲的学生的集合A∪B,人数为1００－９５＝５（人）.

【例3】如果A={x|0x5}，B={x|3x6}，求：（1）A∪B；（2）A∩B；（3）A-B；（4）B-A.解（1）A∪B={x|0x6};（2）A∩B={x|3x5};（3）A-B={x|0x≤3};