3.2 双曲线（解析版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）.docxVIP

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3.2双曲线

知识点一双曲线的定义

【

【解题思路】双曲线的定义的应用

(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离．

(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．

【例1-1】（2024·河北邢台）若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（????）

A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．充分不必要条件

【答案】D

【解析】，

当点在左支时，的最小值为，

当点在右支时，的最小值为，

因为，则点在双曲线的左支上，

由双曲线的定义，解得；

当，点在左支时，；在右支时，；推不出；

故为充分不必要条件，故选：D.

【例1-2】（2024高三下·全国·专题练习）双曲线方程为，则的取值范围是（???）

A． B． C． D．或

【答案】D

【解析】由方程表示双曲线，可得，

当时，可得，解得或；

当时，可得，解得，

综上可得，实数的取值范围为.

故选：D.

【变式】

1．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（????）

A．13 B．10 C．1 D．13或1

【答案】A

【解析】由题意得焦距为，由双曲线定义可得，

所以或，又因为在双曲线中，所以，故A正确.

故选：A.

2．（23-24高二上·广东河源·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的左支上一点，则（???）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据双曲线标准方程可知，

由双曲线定义可得，

又为左焦点，点是的左支上一点，所以，

可得.

故选：B

3．（23-24高二上·广东深圳·期末）双曲线的左右焦点分别是与是双曲线左支上的一点，且，则（????）

A．1 B．13 C．1或13 D．3

【答案】B

【解析】是双曲线左支上的一点，

所以，解得：，

由双曲线定义可知，，所以13.

故选：B.

4．（23-24高二下·上海·阶段练习）设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（????）

A．1 B．17 C．1或17 D．5或13

【答案】B

【解析】双曲线的，

由双曲线的定义可得．

因为，所以，得或17，

若，则在右支上，应有，不成立；

若，则在左支上，应有，成立．

故选：B．

5．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）双曲线：的两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则等于（????）

A．9 B．9或1 C．1 D．6

【答案】A

【解析】因为，所以，

所以，解得，

根据双曲线定义可得，

所以，解得或，

当时，不合题意，故舍去，

当时，，满足题意，

综上，.

故选：A

6．（2024·河北石家庄·二模）已知曲线，则“”是“曲线的焦点在轴上”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当时曲线表示焦点在轴上的椭圆，故充分性成立；

当时曲线表示焦点在轴上的双曲线，

故由曲线的焦点在轴上推不出，即必要性不成立；

所以“”是“曲线的焦点在轴上”的充分不必要条件.

故选：A

7（23-24高一下·四川成都·开学考试）方程表示双曲线的必要不充分条件可以是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】如果方程表示双曲线，则，解得：，

则方程表示双曲线的必要不充分条件所对应的集合必须真包含．

只有选项C满足题意．

故选：．

知识点二焦点三角形

【例2-1】（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（????）

A．20 B．22 C．28 D．36

【答案】C

【解析】由题意知，，所以，

又，所以，所以的周长为．故选：C．

【例2-2】（23-24高二上·贵州贵阳·期末）双曲线的两个焦点为，为双曲线上一点，若，则的面积为.

【答案】3

【解析】双曲线，实轴长，焦距，由对称性不妨设，

由，有，

则，

解得，.

故答案为：3

【变式】

1．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知点为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，则（????）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】A

【解析】由于为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，

所以，故，由于，

所以，故选：A

2．（23-24湖南长沙·阶段练习）双曲线的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为1，则的面积等于（????）

A．24 B．12 C． D．

【答案】C

【解析】由双曲线