等比数列前n项和 (2).doc

2.5等比数列的前n项和（一）

教学目标

知识与技能目标

1．掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；

2．会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题

（二）过程与能力目标

1．理解等比数列前n项和公式的推倒过程；

2．从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力和技巧；

3．会用等比数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题．

（三）情感与态度目标

激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感.

教学重点

等比数列前的项和公式的推导及应用。

教学难点

错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握.

教学过程

复习回顾

前面我们一起学习有关等比数列的定义、通项公式及性质.

(1)定义式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q≠0)

(2)通项公式：an＝a1qn－1(a1，q≠0)

(3)性质：①a，G，b成等比数列G2＝ab

②在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq

创设情境兴趣导入

【趣味数学问题】

传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨?班?达依尔，舍罕王为了表彰大臣的功绩，准备对大臣进行奖赏．

国王问大臣：“你想得到什么样的奖赏？”，这位聪明的大臣达依尔说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒，在第二个格子内放上2颗麦粒，在第三个格子内放上4颗麦粒，在第四个格子内放上8颗麦粒，…，依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2倍的规律，放满棋盘的64个格子．并把这些麦粒赏给您的仆人吧”．

国王认为这样的奖赏很轻，于是爽快地答应了，命令如数付给达依尔麦粒．

计数麦粒的工作开始了，在第一个格内放1粒，第二个格内放2粒，第三个格内放4粒，第四个格内放8粒，……，国王很快就后悔了，因为他发现，即使把全国的麦子都拿来，也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺．

这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢？

各个格的麦粒数组成首项为1，公比为2的等比数列，大臣西萨?班?达依尔所要的奖赏就是这个数列的前64项和．

动脑思考探索新知

如何求数列1，2，4，…262，263的各项和

以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的和，可表示为：

①

2②

由②—①可得：

这种求和方法称为“错位相减法”“错位相减法”，是研究数列求和的一个重要方法

等比数列的前n项和公式：

等比数列的前n项和公式：当时，①或②当q=1

等比数列的前n项和公式：

当时，①或②

当q=1时，

当已知,q,n时用公式①；当已知,q,时，用公式②.

当q=1时，

当已知,q,n时用公式①；当已知,q,时，用公式②.

公式推导方法一：

一般地，设等比数列它的前n项和是

由

得

∴当时，①或②

当q=1时，

公式推导方法二：

＝

＝＝

（结论同上）

“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决。

现在我们看一看本节趣味数学内容中，国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺？

国王承诺奖赏的麦粒数为

，

据测量，一般麦子的千粒重约为40g，则这些麦子的总质量约为7.36×g，约合7360多亿吨．我国2000年小麦的全国产量才约为1.14亿吨，国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢！

巩固知识典型例题

例1写出等比数列

的前n项和公式并求出数列的前8项的和．

解因为，所以等比数列的前n项和公式为

，

故．

例2求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.

解由

，

从第5项到第10项的和为-=1008

例7一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？最快几小时全球（67.6亿）人都知道这个消息？

解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项的等比数列

则：一天内获知此信息的人数为：

∵

∴最快33个小时全球人都知道这个消息。

归纳小结强化思想

知识总结

等比数列的前n项和公式：

思想方法总结

这节课我们从已有的知识出发，用多种方法（错位相减法、方程法）推导出了等比数列的前n项和公式，并在应用中加深了对公式的认识．

课后探索作业强化

(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题6．3A组（必做）；