备战2025高考数学大一轮复习讲义第十章　§10.3　随机事件与概率.docxVIP

§10.3随机事件与概率

课标要求1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算.3.掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率．

知识梳理

1．样本空间和随机事件

(1)样本点和有限样本空间

①样本点：随机试验E的每个可能的________________称为样本点，常用ω表示．

全体样本点的集合称为试验E的__________，常用Ω表示．

②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．

(2)随机事件

①定义：将样本空间Ω的________称为随机事件，简称事件．

②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示．

③随机事件的极端情形：__________________、________________.

2．两个事件的关系和运算

含义

符号表示

包含关系

若事件A发生，则事件B一定发生

相等关系

B?A且A?B

并事件

(和事件)

A∪B或A＋B

交事件

(积事件)

事件A与事件B同时发生

互斥

(互不相容)

事件A与事件B不能同时发生

A∩B＝?

互为对立

事件A与事件B有且仅有一个发生

3.古典概型的特征

(1)有限性：样本空间的样本点只有________；

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性_________________________________________．

4．古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝__________＝eq\f(n?A?,n?Ω?).

其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．

5．概率的性质

性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；

性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0；

性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝____________；

性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝________________；

性质5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为??A?Ω，所以0≤P(A)≤1；

性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝____________________.

6．频率与概率

(1)频率的稳定性

一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐________事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．

(2)频率稳定性的作用

可以用频率fn(A)估计概率P(A)．

常用结论

1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件．

2．若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．

自主诊断

1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)

(1)事件发生的频率与概率是相同的．()

(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．()

(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．()

(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．()

2．(必修第二册P235T1改编)一个人打靶时连续射击两次，与事件“至多有一次中靶”互斥的事件是()

A．至少有一次中靶

B．两次都中靶

C．只有一次中靶

D．两次都不中靶

3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175cm的概率为()

A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8

4．(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________.

题型一随机事件的关系

命题点1随机事件间关系的判断

例1(1)(多选)(2023·大连模拟)有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件I为“一种报纸也不订”，下列命题正确的是()

A．E与G是互斥事件

B．F与I互为对立事件

C．F与G不是互斥事件

D．G与I是互斥事件

(2)(多选)某人打靶时连续射击两次，设事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，则下列结论正确的是()

A．A?B

B．A∩B＝?

C．A∪B＝“至少一次中靶”

D．A与B