安徽工业大学线性代数习题-范爱华.doc

安徽工业大学线性代数习题

范爱华

第一章行列式

1．计算下列行列式:

(1)

(2)

(2)

(3).

2.(1)已知，则行列式

（2）设4阶行列式

3.计算下列各行列式:

(1)

(2)。

4．计算行列式。

5.利用行列式性质证明:

（1）

(2)

(3)

6.计算下列各行列式(为n阶行列式):

(1)

(2)

(3),其中对角线上元素都是,未写出的元素都是0;

(4)

(5),其中

7.用克莱姆法则解方程组:

8．设齐次线性方程组有非零解,问应满足什么条件？

9.齐次线性方程组只有零解,则应满足什么条件？

10.问取何值时,齐次线性方程组

有非零解?

第二章矩阵及其运算

1．设求

2.计算下列乘积:

(1)

(2)

(3).

3.设A=,B=,求AB-BA,.

4．求

5．设A=,求A

6．判断下列命题或等式是否正确:

若A=O,则A=O;()

若A=A,则A=O或A=I;()

若A=I,则A=I或A=-I;()

若AX=AY,且AO则X=Y;()

;()

设为对称矩阵，则对任意正整数，也是对称矩阵。()

7.设A,B为n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明BAB也是对称矩阵.

8.设A,B都是n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.

9．设A和B均为n阶矩阵,则必有()

(A);(B);

(C);(D).

10.设n阶方阵A,B,C满足关系式ABC=I,其中I是n阶单位矩阵,则必有()

(A)ACB=I;(B)CBA=I;(C)BAC=I;(D)BCA=I.11.求下列矩阵的逆矩阵:

(1)

(2)

(3)().

12.解下列矩阵方程:

X=;

13.设A=,AB=A+2B,求B.

14.设方阵A满足A-A-2I=O,证明A及A+2I都可逆,并求A及(A+2I).

15.设PAP=,其中P=求A.

16.设n阶矩阵的伴随矩阵为,证明:

若=0,则=0;(2)=.

17.已知是的伴随矩阵,求.

18.设,求、及。

19.设n阶矩阵及s阶矩阵都可逆,求.

20．把下列矩阵化为行标准形矩阵:

(1)

(2).

21.试用矩阵的初等变换,求下列方阵的逆矩阵:

(1)

(2).

22.设A=,B=,求X,使AX=B;

23．在秩是r的矩阵中,有没有等于0的r-1阶子式?有没有等于0的r阶子式?举例说明.

24．求下列矩阵的秩

(1)

(2)

第三章n维向量空间

1．求满足下列方程的向量

；

2．讨论下列向量组的线性相关性。

；

；

；

3．设向量组为。取何值，该向量组线性相关。

4．若向量组线性无关，判断下列向量组的线性相关性。

(1);

(2).

5．设,且向量组线性无关,证明:向量组线性无关.

6．利用初等行变换求矩阵A的列向量组的一个极大无关组,其中

A=.

7．求向量组的秩,一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。

8.设是一组n维向量,已知n维单位坐标向量能由它们线性表示,证明线性无关.

9．设是一组n维向量,证明：它们线性无关的充分必要条件是:任一

n维向量都可由它们线性表示.

10．设R满足,

R满足,

问是不是向量空间?为什么?

11.试证:由所生成的向量空间就是.

12.验证为的一个基,并把