华中科技大学-流体力学第七章-4.ppt

6．速度势函数和流函数的主要性质(1)速度势函数的等值线与流线正交，流函数的等值线与流线重合。由数学知又流线与v=??相切所以?(x,y,t)=C与流线正交以上性质不仅对于平面流动成立，对于轴对称和三元流动也同样成立。在三元流动中，?=C称为等速度势面(等势面)。?(x,y,t)=C--等速度势线(等势线)1

二元流线微分方程可见，?(x,y,t)=C与流线重合。2

在应用中把流函数等值线(?=C)称为流线。实际?=C并不等同于流线，流函数是由不可压缩二维流动的连续性方程引入和定义的，只是对于特定的流动才能引入流函数?，而流线那么是对所有速度不全为零的流场，由速度矢量的方向定义的。在物面边界上流函数的值是个常数，所以物面边界也可以被当作是流场中的一条流线。反过来说，流场中任意一条流线也可以被看作是物面边界。例例3

?=C与流线正交，?=C与流线重合，所以曲线?=C与曲线?=C正交。两族曲线正交。由速度势函数和流函数的性质不难判断，局部曲线与圆正交的那一族是等速度势线，而其中一条与物面相重合的那一族是流线。?=C?=C例4

在单连通区域中，沿任意曲线的切向速度积分等于曲线两端点上速度势值之差，而且积分值与路径无关。通过连接两条流线的任意曲线的体积流量等于这两条流线上流函数值之差。对于无旋流动存在速度势函数，此时在单连通区域上沿两端点分别为A和B的任意曲线的切向速度积分为积分与路径无关，它等于积分路径两端点上的速度势值之差。5

在微元ds上因为讨论的是平面问题，所谓通过某曲线的流量应该被理解为通过垂直方向为单位厚的曲面的流量。-dxdydsn6

流动无旋，所以存在相应的速度势函数。例平面不可压缩流动的流函数?=ax2-ay2；

证明流动无旋，并求出相应的速度势函数。解7

对y取偏导数，得可见，C(y)=0，即C(y)=C(常数)可以在速度势函数上加或减任意常数，所以8

解〔1〕对于流动(a)有显然满足不可压缩流体流动的连续性方程存在对应的流函数。积分后得到：?=y-2x(略去了积分常数)。例设平面流动(a)u=1,v=2；流动(b)u=4x,v=-4y。

〔1〕对于(a)是否存在流函数?？假设存在，求?。

〔2〕对于(b)是否存在速度势函数?？假设存在，求?。9

〔2〕对于流动(b)有积分后得到：?=2x2-2y2(已略去积分常数)满足无旋条件存在相对应的速度势函数。10

yxA(0,0)C(2,2)例已知不可压缩流体平面流动的速度（1）求流函数?；（2）计算穿过直线AC的流量QAC。解（1）（2）11

7.5根本的平面有势流动1．均匀直线流满足不可压缩流体的平面势流12

速度等势线流线等势线流线V?vuxy?13

对于?=0，xyV?14

2．平面点源/点汇满足15

Q--点源(汇)强度平面点源流(Q0)平面点汇流(Q0)奇点xxyy16

流线:?=C1,等势线:r=C2。流线等势线平面点源流(Q0)平面点汇流(Q0)奇点xxyy17

点源(汇)在(x0,y0)点(x0,y0)xyO18

3．点涡满足19

?--点涡强度yx20

流线:r=C1,等势线:?=C2。流线等势线奇点点涡流yx21

点涡在(x0,y0)点22

z=0点:点汇-Q点：点源+Q叠加后得到令?r?0，Q??，?不变，并且?--偶极子的方向角(由点汇指向点源的矢量的方向角)4．偶极子z0=?zxy?r+Q-Q?23

?=?(点源沿x轴的正方向由左至右向点汇趋近)。令24

等速度势线：流线：偶极子在z0点等势线流线yx25

点源(点汇)流、点涡流和偶极子流在无穷远处的速度都趋于零，因此将这些根本解与其它解叠加时，只需要考虑叠加后的物面边界条件，而不必担忧叠加这些根本解会改变原来无穷远处的速度边界条件。三个根本解都具有奇异性，通常也通统称为奇点。由于真实流场中不应该有无穷大的速度，所以