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实数的标准差与方差

一、教学内容

本节课的教学内容选自人教版高中数学必修2，第四章“数据的波动性”，第一节“方差与标准差”。具体内容包括：标准差的定义，标准差的计算方法，方差的定义，方差的计算方法，以及标准差和方差在实际问题中的应用。

二、教学目标

1.理解标准差和方差的定义，掌握它们的计算方法。

2.能够运用标准差和方差描述数据的波动性，判断数据的稳定性。

3.培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。

三、教学难点与重点

重点：标准差和方差的定义，计算方法。

难点：理解标准差和方差在描述数据波动性方面的作用，以及如何在实际问题中运用。

四、教具与学具准备

教具：多媒体教学设备，黑板，粉笔。

学具：教材，练习本，铅笔，橡皮。

五、教学过程

1.实践情景引入：

以一次考试的成绩为例，引入标准差和方差的概念。假设某班学生的数学成绩如下：

100,90,80,85,95,110,105,98,88,70

提问：如何描述这组数据的波动性？

2.标准差的定义与计算：

（1）定义：一组数据的标准差是这组数据各个数值与平均数差的平方和的平均数的平方根。

（2）计算：计算平均数，然后计算每个数值与平均数的差的平方，求和后除以数据个数，取平方根。

3.方差的定义与计算：

（1）定义：一组数据的方差是这组数据各个数值与平均数差的平方的平均数。

（2）计算：计算平均数，然后计算每个数值与平均数的差的平方，求和后除以数据个数。

4.例题讲解：

（1）已知一组数据的标准差为2，求这组数据的方差。

解答：根据标准差的定义，标准差=方差的平方根，所以方差=标准差^2=2^2=4。

（2）已知一组数据的方差为3，求这组数据的标准差。

解答：根据方差的定义，方差=标准差^2，所以标准差=方差的平方根=√3。

5.随堂练习：

（1）已知一组数据：3,7,5,13,20,23,39,23,40,23,14,12,56,23,29。

求这组数据的平均数，标准差，方差。

答案：平均数≈19.1，标准差≈8.3，方差≈54.5。

（2）已知一组数据的方差为4，数据个数为5，求这组数据的标准差。

答案：标准差=方差的平方根=√4=2。

六、板书设计

标准差的定义与计算方法

方差的定义与计算方法

例题讲解

随堂练习

七、作业设计

1.教材P101，练习题1，2，3。

2.某班学生的英语成绩如下：

80,85,90,92,88,84,75,80,88,90

（1）求这组数据的平均数。

（2）求这组数据的标准差。

（3）求这组数据的方差。

答案：

（1）平均数=85

（2）标准差=3.3

（3）方差=11.2

八、课后反思及拓展延伸

本节课通过实例引入了标准差和方差的概念，讲解了它们的计算方法，并通过例题和随堂练习进行了巩固。学生在课后应加强练习，熟练掌握计算方法，并能够运用标准差和方差描述实际问题中的数据波动性。同时，可以拓展学习相关知识点，如数据的四分位数，离散系数等，提高数据分析能力。

重点和难点解析

一、标准差和方差的定义与计算

标准差和方差是描述数据波动性的两个重要指标。标准差是一组数据各个数值与平均数差的平方和的平均数的平方根，而方差是一组数据各个数值与平均数差的平方的平均数。它们能够反映数据的离散程度，标准差越大，数据的波动性越大；方差越大，数据的波动性也越大。

在计算标准差时，需要计算平均数，然后计算每个数值与平均数的差的平方，求和后除以数据个数，取平方根。计算方差时，计算平均数，然后计算每个数值与平均数的差的平方，求和后除以数据个数。

例如，对于一组数据：3,7,5,13,20,23,39,23,40,23,14,12,56,23,29。计算平均数，平均数=（3+7+5+13+20+23+39+23+40+23+14+12+56+23+29）/15≈19.1。然后计算每个数值与平均数的差的平方，分别为：(319.1)^2,(719.1)^2,(519.1)^2,(1319.1)^2,(2019.1)^2,(2319.1)^2,(3919.1)^2,(2319.1)^2,(4019.1)^2,(2319.1)^2,(1419.1)^2,(1219.1)^2,(5619.1)^2,(2319.1)^2,(2919.1)^2。求和后除以数据个数，得到方差≈54.5。取平方根，得到标准差≈8.3。

二、标准差和方差在实际问题中的应用

标准差和方差在实际问题中有广泛的应用。例如，在统计学中，标准差和方差可以用来描述数据的波动性，判断数据的稳定性。在金融领域，标准差和方差可以用来衡量金融资产的风险。在质量控制中，标准差和方