人教A版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第五章 一元函数的导数及其应用 5.3.1 函数的单调性.pptVIP

;课程标准;基础落实·必备知识全过关;;知识点1函数的单调性与其导数的关系

在某个区间(a,b)内,如果,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递增;在某个区间(a,b)内,如果,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减.??;名师点睛

“在某区间内f(x)0(f(x)0)”是“函数f(x)在此区间内单调递增(减)”的充分条件,而不是必要条件.如果出现个别点使f(x)=0,不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间内的单调性.例如函数f(x)=x3,在定义域(-∞,+∞)内是增函数,但因为f(x)=3x2,所以f(0)=0,即并不是在定义域内的任意一点处都满足f(x)0.;过关自诊

1.如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)=0,那么函数f(x)有什么特性?;3.[2023广西北海月考]函数y=ex-e2x的单调递增区间为.;4.[北师大版教材习题]讨论下列函数的单调性:

(1)y=2x2-5x+4;

(2)y=3x-x3.;知识点2函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系

一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)内:;名师点睛

1.原函数的图象通常只看增减变化,而导函数的图象通常对应只看正负变化.

2.导数的绝对值大(小)对应着原函数图象的陡峭(平缓).弄清楚两个对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系.;过关自诊

1.判断正误.(正确的打√,错误的打×)

(1)函数在某一点处的导数越大,函数的图象在该点处的切线越“陡峭”.()

(2)函数在某个区间上变化得越快,函数在这个区间上导数的绝对值越大.();重难探究·能力素养全提升;;(2)函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是

();规律方法研究函数图象与导函数图象之间关系的方法

导函数f(x)图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象上升部分对应的区间(单调递增区间),导函数f(x)图象在x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象下降部分对应的区间(单调递减区间).;变式训练1已知函数y=xf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是();解析当x-1时,xf(x)0,∴f(x)0.故f(x)在区间(-∞,-1)内单调递增;当-1x0时,xf(x)0,∴f(x)0,故f(x)在区间(-1,0)内单调递减;当0x1时,xf(x)0,

∴f(x)0,故f(x)在区间(0,1)内单调递减;当x1时,xf(x)0,

∴f(x)0,故f(x)在区间(1,+∞)内单调递增.故选C.;;变式训练2若函数y=xcosx-sinx在某区间内单调递增,则该区间可能为

();;解(1)y=(x-1)ex+(x-1)(ex)=ex+(x-1)ex=xex.

由y0得x0,由y0得x0,因此,函数y=(x-1)ex在区间(0,+∞)内单调递增;在区间(-∞,0)内单调递减.

大致图象如图①.;规律方法求函数y=f(x)的单调区间的步骤

确定函数y=f(x)的定义域→求导数f(x)→解不等式f(x)0,函数在解集与定义域的交集上单调递增→解不等式f(x)0,函数在解集与定义域的交集上单调递减;变式训练3求下列函数的单调区间:;角度2.求含参数的函数的单调区间

【例4】讨论函数f(x)=ax2+x-(a+1)lnx(a≥0)的单调性.

分析根据函数的定义域,结合导函数零点的大小,确定原函数的单调区间.;由f(x)0,得x1,由f(x)0,得0x1.

∴f(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.

综上所述,当a≥0时,f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞).;变式探究本例条件不变,将a≥0改为a0,讨论函数的单调区间.;规律方法解析式中含参数的函数的单调区间的求法

(1)求解析式中含参数的函数的单调区间一般需要分类讨论:若函数的导函数的零点能够直接求出,则主要是根据导函数零点的大小分类讨论;若导函数的零点不能直接求出,则需要结合导函数是否存在零点分类讨论.

(2)若导数的解析式是一个含参的二次三项式(或可化为二次三项式),如果二次项系数含参数,那么首先按照二次项系数为零、为正、为负分类讨论;如果二次项系数无参数,那么只需讨论导数为零对应方程的两个根x1,x2的大小.但是求解时要注意函数的定义域对函数的单调区间的限制.;;变式探究1若函数f(x)=x3-ax-1的单调递减区间为(-1,1),求实数a的值.;变式探究2若函数f(x)=x3-ax-1在区间(-1,1)内单调递减,求实数a的取值范围.;变