第39讲 立体几何中的传统方法作业解析版公开课教案教学设计课件资料.docx

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2023新高考数学复习讲义同步作业（重难点突破）

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第39讲立体几何中的传统方法

1．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（???????）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】作的中点，连接，作的中点，连接、，

即为异面直线AM与CN所成的角，

由已知条件得，则，，

由余弦定理得，

在△中，有余弦定理可知，

即，解得，

故选：D．

2．已知点A为圆台O1O2下底面圆O2的圆周上一点，S为上底面圆O1的圆周上一点，且SO1=1，O1O2=，O2A=2，记直线SA与直线O1O2所成角为，则（???????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意，设上?下底面半径分别为，其中，

如图，过作垂直下底面于，则，

所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角，即，

而，由圆的性质，，

所以，所以，

故选：C．

3．如图，在三棱台中，平面，，，，则与平面所成的角为（???????）

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】将棱台补全为如下棱锥，

由，，，易知：，，

由平面，平面，则，，

所以，，故，

所以，若到面的距离为h，又，

则，可得，

综上，与平面所成角，则，即．

故选：A

4．用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体．已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为（???????）

A．B． C．D．

【答案】C

【解析】由题意知：正六面体是棱长为的正方体，

，，，，

平面平面，连接，

，，，

平面，

又平面，，

同理可证得：，

又平面，，

平面，

平面，

设垂足分别为，则平面与平面间的距离为．

正方体的体对角线长为．

在三棱锥中，由等体积法求得：，

∴平面与平面间的距离为：．

故选：

5.如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，M，N分别是AB和CD的中点，P是BM的中点．将矩形AMND沿MN折起，形成多面体AMB－DNC．

（1）证明：BD平面ANP；

（2）若二面角A－MN－B大小为120°，求直线AP与平面ABCD所成角的正弦值．

【解析】（1）证明：连接MD交AN于点O，连接OP，

∵四边形AMND为矩形

∴O为MD的中点，

又∵P为BM的中点

∴，

∵BD平面ANP，OP平面ANP，

∴BD平面ANP

（2）∵，，

∴∠AMB即为二面角的平面角，，且MN⊥平面ABM，

∴BC⊥平面ABM，

∵BC平面ABCD，

∴平面ABCD⊥平面ABM

过P作于点Q，∴PQ⊥平面ABCD，

∴∠PAB即为AP与平面ABCD所成角，

，，，

∴，，

∴

∴，

∴．

6．如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点．

（1）证明：PO⊥平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且PM与面ABC所成角的正切值为，求二面角的平面角的余弦值．

【解析】（1）证明：连接OB．

法一：∵，∴，即△ABC是直角三角形，

又O为AC的中点，∴

又∵，

∴

∴．

∴，OB、AC平面ABC

∴PO⊥平面ABC．

法二：连接，，O为AC的中点∴

因为

∴∴，∴

∴，OB、AC平面ABC．

∴PO⊥平面ABC．

（2）由（1）知，PO⊥面ABC∴OM为PM在面ABC上的射影，∴∠PMO为PM与面ABC所成角，

∴，∴，

在△OMC中由正弦定理可得，∴M为BC的中点．作ME⊥AC于E，∴E为OC的中点，作交PA于F，连MF

∴MF⊥PA∴∠MFE即为所求二面角的平面角，

∴

∴

7．（2021·湖南师大附中高三阶段练习）如图，已知为等边三角形，D，E分别为，边的中点，把沿折起，使点A到达点P，平面平面，若．

（1）求与平面所成角的正弦值；

（2）求直线到平面的距离．

【解析】（1）如图所示，

设的中点为O，的中点为F，连接，，，则．

因为平面平面，

平面平面，

所以平面．

因为平面，所以，

所以即为直线与平面所成的角．

因为，则，

所以．

在中，，，所以．

在中，，

所以．

（2）如图，

因为点D，E分别为，边的中点，

所以．

因为平面，平面，

所以平面．

因为平面，平面，

所以．

又，，

所以平面．

因为平面，

所以平面平面．

因为平面平面，

作交于点G，则平面．

在中，，

所以，．

因为点O在直线上，所以直线到平面的距离等于．