1.3 空间向量及其运算的坐标表示（原卷版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）.docxVIP

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1.3空间向量及其运算的坐标表示

知识点一点坐标的书写

【

【解题思路】

1.建立空间直角坐标系的原则

（1）让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面．

（2）充分利用几何图形的对称性．

2.求某点M的坐标的方法

作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)．

3.空间点对称问题的解题策略

(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．

(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．

【例1-1】（22-23高二·全国·课堂例题）已知是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标：

(1)；(2)；(3)；(4)．

【例1-2】（22-23高二上·浙江台州·阶段练习）已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（????）

A． B． C． D．

【例1-3】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中不正确的是（????）

A．点关于直线对称的点为 B．点关于点对称的点为

C．点的坐标为 D．点关于平面对称的点为

【例1-4】（22-23高二·全国·课堂例题）长方体的长、宽、高分别为，，．建立适当的空间直角坐标系，并求顶点A，B，C，D，，，，的坐标．

【例1-5】（23-24高二下·江苏·课后作业）如图所示，已知平行六面体的底面为边长为的正方形，分别为上、下底面的中心，且在底面上的射影是，且．请建立适当空间直角坐标系，并求点的坐标．

【变式】

1．（2024湖北）在正方体中，若点是侧面的中心，则在基底下的坐标为（????）

A． B． C． D．

2．（2024上海）如图，正方体的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱，，，AB，BC，的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标．

3．（22-23高二下·全国·课后作业）在平行六面体中，底面是矩形，，，平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标.

??

(1)；

(2)；

(3)；

4．（23-24高二·江苏）如图，在三棱柱中，平面平面，，且，，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．

5．（23-24江西）如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，．已知，，．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．

知识点二空间向量的坐标

【

【解题思路】

向量坐标的求法

(1)点A的坐标和向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标形式完全相同；

(2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得．

【例2】（2024河北邯郸）（多选）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴?轴?轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（????）

A． B．

C． D．

【变式】

1．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期末）（多选）在棱长为2的正方体中，如图，以为原点建立空间直角坐标系，为中点，为的中点，则（????）

A． B．

C． D．

2．（22-23高二下·甘肃天水·期中）已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.

??

3．（22-23高二·甘肃天水·期中）已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.

??

知识点三空间向量的坐标运算

【

【解题思路】

空间向量坐标运算的规律及注意点

(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定；

(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．

(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．

【例3-1】（2024天津河西）若向量，向量，则（????）

A． B．

C． D．

【例3-2】（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知点，向量，则向量在向量上的投影向量为（???）

A． B． C． D．

【例3-3】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知、，且与夹角为钝角，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【例3-4】（2023高二·全国·专题练习）已知，，，则“”是“构成空间的一个基底”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【变式】

1．（23-24高二上·北京通州·期中）已知，，，则