3.1.1 椭圆（解析版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）.docxVIP

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3.1.1椭圆

知识点一椭圆的定义

【例1-1】（2024·广西南宁）已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，若，则（????）

A．2 B．3 C．5 D．6

【答案】C

【解析】由椭圆，可得，所以，

因为分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，

所以，又，所以.

故选：C.

【例1-2】（23-24高二下·浙江·阶段练习）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（????）

A．1 B．2 C．4 D．5

【答案】B

【解析】因为椭圆，所以，

又因为，所以，即，

设，则①，且②，

由①②得到，即，所以，

故选：B.

【例1-3】（2024湖北十堰·期末）已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（????）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】若曲线是椭圆，则有：解得：，且

故“”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件故选：C

【变式】

1．（2024·河北保定）已知是椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，则（????）

A．8 B．6 C．4 D．3

【答案】A

【解析】由椭圆的定义可知，.故选：A.

2．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若，则的值为（）

A．8 B．6 C．20 D．10

【答案】A

【解析】因为椭圆方程为，所以，又因为，所以，

故选：A.

3．（23-24高二下·浙江·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．且

【答案】D

【解析】方程表示椭圆，，得，得且．故选：D．

4．（2024·河南·模拟预测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（????）

A． B．

C． D．或

【答案】C

【解析】方程可化为：，

因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得.故选：C

5．（22-23高二·江苏·假期作业）椭圆的两焦点分别为，点在椭圆上，若，则的大小为．

【答案】

【解析】由椭圆，可得，则，

因为，可得，，

在中，由余弦定理得，

因为，所以.故答案为：

知识点二焦点三角形的周长与面积

【

【解题思路】椭圆定义的解题思路

(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化．

(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解．

3.椭圆的焦点三角形

椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，如图所示，设∠F1PF2＝θ，

(1)△PF1F2周长为2a＋2c；

(2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c；

(3)S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，S△F1PF2取最大值，最大值为bc.

(4)|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))eq\s\up12(2)＝a2.

(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.

【例2-1】（23-24高二下·陕西汉中·期末）椭圆：的两个焦点分别为，，椭圆上有一点，则的周长为.

【答案】14

【解析】因为，，所以，

故的周长为.

故答案为：14

【例2-2】（2024·黑龙江哈尔滨）已知是椭圆的左焦点，直线与交于、两点，则周长为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，故经过椭圆的右焦点，故的周长.故选：D.

【例2-3】（22-23高二上·云南昆明·期中）椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为（????）

A．10 B．14 C．18 D．20

【答案】D

【解析】椭圆的长半轴轴，半焦距，

依题意，分别是的中点，即，

所以的周长为.故选：D

【例2-4】（23-24高二下·天津·阶段练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为（????）

A．8 B．6 C．4 D．2

【答案】B

【解析】由可得：，则椭圆得长轴长为，

，可设，，

由题意可知，，，，，△是直角三角形，

其面积．故选：B．

【例2-5】（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（????）

A．3 B．4 C．6 D．10

【答案】C

【解析】由椭圆定义可得，故，又，

则由余弦定理得，故，

故.故选：C

【变式】

1．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，