2.4-等腰三角形的判定定理.ppt

2.4等腰三角形的判定定理

【明目标、知重点】1．理解并掌握等腰三角形的判定定理；2.理解并掌握等边三角形的判定定理．

填要点·记疑点1．等腰三角形的判定 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，简单地说，在同一个三角形中，_________________． 注意：“等角对等边”只限于在同一个三角形中，若两个三角形有两边(或两角)对应相等，那么它们所对的角(或边)不一定相等．等角对等边

2．等边三角形的判定 定理：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形； (2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明一个三角形是等边三角形的方法： (1)利用定义说明三条边相等； (2)说明三角形三个角相等； (3)说明它是等腰三角形且有一个角是60°.

探要点·究所然类型之一等腰三角形判定定理的运用例1如图2－4－1，∠A＝36°，∠DBC＝ 36°，∠C＝72°，找出图中的一个等腰 三角形，并给予证明．我找的等腰三角形 是：______________________________． 【解析】由三角形内角和定理得 ∠ABC＝72°，从而得出△ABC是等腰三角形．同理可得出△ABD和△BCD也是等腰三角形．图2－4－1△ABC(或△BDC或△DAB)

解：△ABC(或△BDC或△DAB)是等腰三角形．证明：在△ABC中，∵∠A＝36°，∠C＝72°，∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝72°.∵∠C＝∠ABC，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．【点悟】判断等腰三角形的方法常利用相等的角找相等的边．

变式跟进1如图2－4－2，△ABC中， AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是 ∠ABC和∠ACB的平分线，点O为BD， CE的交点，则图中等腰三角形的个数 是 () A．4 B．5 C．7 D．8 【解析】△ABC，△ABD，△ACE，△BOC，△BEO，△CDO，△BCD，△CBE是等腰三角形． ∴图中的等腰三角形有8个．图2－4－2D

类型之二等腰三角形的性质与判定的综合运用例2如图2－4－3，在△ABC中， AC＝BC，D是AB的中点，过A 作AE∥CD，交BC的延长线于E， 试说明△ACE是等腰三角形的理由． 【解析】要说明△ACE是等腰三角形，只需说明∠CAE＝∠E，由于AE∥CD，只需说明∠ACD＝∠BCD.图2－4－3

解：∵AC＝BC，D是AB的中点，∴∠ACD＝∠BCD(等腰三角形三线合一)．∵AE∥CD，∴∠ACD＝∠CAE，∠BCD＝∠E.∴∠CAE＝∠E.∴CA＝CE(在同一个三角形中，等角对等边)．∴△ACE是等腰三角形．【点悟】本题是等腰三角形的性质与判定、平行线的性质的综合应用，“平行线＋角平分线”构成等腰三角形是基本图形，熟练掌握这个基本图形，有利于解决含有这个基本图形的复杂题目．

变式跟进2[2014·杭州]如图2－4－4，在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P，求证：PB＝PC，并请直接写出图中其他相等的线段．图2－4－4

解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. ∴△ABF≌△ACE(SAS)．∴∠ABF＝∠ACE， ∴∠ABC－∠ABF＝∠ACB－∠ACE， ∴∠FBC＝∠ECB，∴PB＝PC. 相等的线段还有：PE＝PF，BF＝CE，BE＝CF.

类型之三等边三角形的判定例3如图2－4－5，△ABC为等边三角形，点D在线段AF上，点F在线段BE上，点E在线段CD上，∠1＝∠2＝∠3. (1)求∠BEC的度数； (2)△DEF为等边三角形吗？为什么？图2－4－5

解：(1)∵△ABC为等边三角形， ∴∠ACB＝60°，∴∠BCE＋∠3＝60°. ∵∠2＝∠3，∴∠BCE＋∠2＝60°. ∴∠BEC＝180°－∠BCE－∠2＝120°. (2)△DEF为等边三角形．理由如下： ∵∠BEC＝120°，∴∠DEF＝60°， 同理，∠EFD＝60°，∠EDF＝60°， ∴∠DEF＝∠EFD＝∠EDF＝60°， ∴△DEF为等边三角形．

变式跟进3下列三角形，不一定是等边三角形的是 () A．有两个角等于60°的三角形 B．有一个外角等于120°的等腰三角形 C．三个角都相等的三角形 D．边上的高也是这边的中线的三角形D

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